其前幾項為 :1, 1, 2, 5, 14,42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...
令h(0)=1,h(1)=1，catalan數滿足遞推式
[1]：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)
例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
另類遞推式
[2]：
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
遞推關係的解為：
h(n)=c(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)
遞推關係的另類解為：
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)
推導：對於每乙個數來說，必須進棧一次、出棧一次。我們把
進棧設為狀態『1』，出棧設為狀態『0』。n個數的所有狀態對應n個1和n個0組成的2n位
二進位制數
。由於等待入棧的運算元按照1‥n的順序排列、入棧的運算元b大於等於
出棧的運算元a(a≤b)，因此輸出序列的總數目=由左而右掃瞄由n個1和n個0組成的2n位
二進位制數
，1的累計數不小於0的累計數的方案種數。顯然，不符合要求的方案數為c(2n,n+1)。由此得出輸出序列的總數目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=c(2n,n)/(n+1)=h(n+1)
即不符合要求的數的特徵是由左而右掃瞄時，必然在某一奇數字2m+1位上首先出現m+1個0的累計數和m個1的累計數，此後的2(n-m)-1位上有n-m個 1和n-m-1個0。如若把後面這2(n-m)-1位上的0和1互換，使之成為n-m個0和n-m-1個1，結果得1個由n+1個0和n-1個1組成的2n位數，即乙個不合要求的數對應於乙個由n+1個0和n-1個1組成的排列。
反過來，任何乙個由n+1個0和n-1個1組成的2n位
二進位制數，由於0的個數多2個，2n為
偶數，故必在某乙個奇數字上出現0的累計數超過1的累計數。同樣在後面部分0和1互換，使之成為由n個0和n個1組成的2n位數，即n+1個0和n-1個1組成的2n位數必對應乙個不符合要求的數。
實際題目中，對初始值的理解是關鍵：
應用：出棧次序，3個元素，f(3)=h(3)=5,f(n)=h(n)
應用：凸三角形劃分:在乙個凸多邊形中，通過若干條互不相交的對角線，把這個多邊形劃分成了若干個三角形。任務是鍵盤上輸入凸多邊形的邊數n，求不同劃分的方案數f（n）。比如當n=6時，f(6)=h(4)=14，f(n)=h(n-2).
因為凸多邊形的任意一條邊必定屬於某乙個三角形，所以我們以某一條邊為基準，以這條邊的兩個頂點為起點p1和終點pn（p即point），將該凸多邊形的頂點依序標記為p1、p2、……、pn，再在該凸多邊形中找任意乙個不屬於這兩個點的頂點pk（2<=k<=n-1），來構成乙個三角形，用這個三角形把乙個凸多邊形劃分成兩個凸多邊形，其中乙個凸多邊形，是由p1，p2，……，pk構成的凸k邊形（頂點數即是邊數），另乙個凸多邊形，是由pk，pk+1，……，pn構成的凸n-k+1邊形。
應用：買票找零f(n) = h(n)
有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出
棧) 小兔的棋盤f(n) = h(n)
小兔的叔叔從外面旅遊回來給她帶來了乙個禮物，小兔高興地跑回自己的房間，拆開一看是乙個棋盤，小兔有所失望。不過沒過幾天發現了棋盤的好玩之處。從起點(0，0)走到終點(n,n)的最短路徑數是c(2n,n),現在小兔又想如果不穿越對角線(但可接觸對角線上的格點)，這樣的路徑數有多少?小兔想了很長時間都沒想出來，現在想請你幫助小兔解決這個問題，對於你來說應該不難吧!
最後上乙個求catalan數的codes
from functools import lru_cache
class solution:
def catalan(self, n):
@lru_cache(none)
def c(n,m):
if (m == n):
return 1
elif (m == 1):
return n
return c(n-1,m-1)+c(n-1,m)
return c(2*n,n)-c(2*n,n-1)
@lru_cache(none)
def catalan2(self,n):
if (n == 0 or n == 1):
return 1
res = 0
for i in range(0,n):
res += self.catalan2(i)*self.catalan2(n-i-1)
return res
s = solution()
print(s.catalan2(3))
Catalan Number 卡特蘭數
卡特蘭數是乙個比較有意思的數列，有幾個經典問題的模型如下 1.n對括號的合法表示式有多少種可能，其中答案為c n 表示卡特蘭數列的第n項 2.有n個節點的二叉樹的所有可能形態有多少種，也是c n 3.計算有n 1個葉節點的滿二叉樹有多少種，也是c n 4.序列的所有排列中不出現 123 或者任何乙個...
卡特蘭數（catalan number）
卡塔蘭數是組合數學中乙個常在各種計數問題中出現的數列。公式為 前幾項為 n 0,1,2,3,4,5時 1,1,2,5,14,42 2.1 乙個棧的進棧次序為1 2 3 n。有多少種不同的出棧次序？當 2.2 有n個結點，總共能構成幾種不同的二叉樹？當 2.3 其它常見問題 1.n對括號有多少種匹配方...
卡特蘭數 Catalan number
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