我同學提出了乙個有趣的微分方程組，如下：
(1) dx
dt+d
ydt=
v0(2) m(
dxdt
)2+m
(dyd
t)2+
k(y−
x−l)
2=mv
20從方程看，第二個是能量守恆，第乙個應該是動量守恆，系統中有兩個質量為
m 的物體，有乙個初始長度為
l的彈簧。(2)式兩邊同時乘以12
可知初始能量為12
mv20
。 要想解開這個方程，需要把它先化為我們熟知的微分方程類別，例如二階常係數微分方程。
考慮(1)的平方。 (d
xdt)
2+(d
ydt)
2+2d
xdtd
ydt=
v20
(3)兩邊都乘以m，得， m(
dxdt
)2+m
(dyd
t)2+
2mdx
dtdy
dt=m
v20
(4)
對(4)和(2)求差，得 2m
dxdt
dydt
=k(y
−x−l
)2(5)
對(5)兩側求自變數t的導數 2m
(d2x
dt2d
ydt+
dxdt
d2yd
t2)=
2k(y
−x−l
)(dy
dt−d
xdt)
(6)
對(1)兩側求自變數t的導數 d2
xdt2
+d2y
dt2=
0 (7)
也就是說 d2
xdt2
=−d2
ydt2
(8)
將(8)應用到(6)，消去y的二階導數，得 2m
d2xd
t2(d
ydt−
dxdt
)=2k
(y−x
−l)(
dydt
−dxd
t)(9)
整理(9)得， md
2xdt
2=k(
y−x−
l)(10)
對(1)兩側做積分，得 ∫(
dxdt
+dyd
t)dt
=∫v0
dt(11)
也就是 x+
y=v0
t+c
(12)
如果考慮在t=0時候，x=
0,y=
l ,也就是假設彈簧處於原長，則， c=
l (13)
然後，(12)可以修訂為 x+
y=v0
t+l
(14)
將(14)應用到(10)，消去y，得 md
2xdt
2=k(
v0t+
l−x−
x−l)
=k(v
0t−2
x)(15)
從而得到 mx
′′+2k
x=kv
0t(16)
整理得 x′′
+2km
x=kv
0mt
(17)
進一步採用常係數二階非齊次微分方程求解方法可得 x(
t)=c
1cos
at+c
2sin
at+c
3t+c
4 (18)
經過對初值條件得分析，則可以得到正確表示式 x(
t)=v
02t+
v02m
2k−−
−√sin2km
−−−√
t−l2
(19)
結合(14)可知， y(
t)=v
02t−
v02m
2k−−
−√sin2km
−−−√
t+l2
(20)
我的朋友用不同的方法也得到了同樣的結果。在他的個人部落格中，提到了這個微分方程組對應的物理現象。在光滑跑道上有兩個質量為
m 的物體，兩個物體中間連有乙個初始長度為
l的彈簧。在初始時刻，賦予其中乙個物體乙個速度v0
,求解這兩個物體的運動方程。
起初，我並不知道這些初始條件，物理場景，所以嘗試把方程轉化為我們學習過的類別。比如，一階常微分方程，二階常係數常微分方程。因為方程(2)包含有平方項，所以當務之急是消去它。消去兩個平方項，得到了方程(5)，又陷入困境：怎麼處理dx
dtdy
dt這樣的交叉項呢？看書也並無幫助，我回過頭來對兩邊求導，後面又發現兩個物體的加速度，或者位移的二階導數是等大反向，所以可以提出乙個公因式，dy
dt−d
xdt ，如果假設這個公因式不為0，就可以從等式兩邊消去，從而得到乙個更加簡單的二階方程。後面的事情就很好處理了。
命題，dy
dt−d
xdt=
0 是不可能成立的。
證明：如果d
ydt−
dxdt
=0，則方程的解顯然是y=
x 。這相當於在初始時刻給予兩個物體相同的初速度v0
/2，然後兩個物體做勻速直線運動，故而彈簧沒有伸縮，沒有彈性勢能。初始動能是12
m(v0
2)2+
12m(
v02)
2=14
mv20
而不是12
mv20
，得證。
參考資料：
丁同仁，李承治， 常微分方程，第二版， 高等教育出版社
劉珈銘，jia-ming (frank) liou, 微分方程講義補充，國立成功大學數學系
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