最長遞增子串行的三種演算法

2021-07-26 17:09:03 字數 2934 閱讀 5454

給定乙個長度為n的陣列,找出乙個最長的單調自增子序列(不一定連續,但是順序不能亂)。例如:給定乙個長度為6的陣列a,則其最長的單調遞增子串行為,長度為4.

這個問題可以轉換為最長公共子串行問題。如例子中的陣列a,則我們排序該陣列得到陣列a『,然後找出陣列a和a』的最長公共子串行即可。顯然這裡最長公共子串行為,也就是原陣列a最長遞增子串行。最長公共子串行演算法在演算法導論上有詳細講解,這裡簡略說下思想。

假定兩個序列為x=和y=為x和y的任意乙個lcs。

1)如果xm = yn,則zk = xm=yn,且zk-1是xm-1和yn-1的乙個lcs。

2)如果xm != yn, 則zk != xm蘊含z是xm-1和y得乙個lcs。

3)如果xm != yn, 則zk != yn蘊含z是x和yn-1的乙個lcs。

設長度為n的陣列為,則l(0)=1, l(1)=2, l(2)=3, l(3)=1, l(4)=2, l(5)=4。所以該陣列最長遞增子串行長度為4,序列為。演算法**如下:

cpp**  

#include 

using

namespace std;  

#define len(a) (sizeof(a) / sizeof(a[0])) //陣列長度

int lis(int arr, int len)  

}  }  int max = 0;  

for (int j=0; jcout <

<

<

if (longest[j] > max) max = longest[j];  //從longest[j]中找出最大值

}  return max;  

}  int main()  

; //測試陣列

int ret = lis(arr, len(arr));  

cout <

<

return 0;  

}  假設存在乙個序列d[1..9] =,可以看出來它的lis長度為5。

下面一步一步試著找出它。

我們定義乙個序列b,然後令 i = 1 to 9 逐個考察這個序列。

此外,我們用乙個變數len來記錄現在最長算到多少了

首先,把d[1]有序地放到b裡,令b[1] = 2,就是說當只有1乙個數字2的時候,長度為1的lis的最小末尾是2。這時len=1

然後,把d[2]有序地放到b裡,令b[1] = 1,就是說長度為1的lis的最小末尾是1,d[1]=2已經沒用了,很容易理解吧。這時len=1

接著,d[3] = 5,d[3]>b[1],所以令b[1+1]=b[2]=d[3]=5,就是說長度為2的lis的最小末尾是5,很容易理解吧。這時候b[1..2] = 1, 5,len=2

再來,d[4] = 3,它正好加在1,5之間,放在1的位置顯然不合適,因為1小於3,長度為1的lis最小末尾應該是1,這樣很容易推知,長度為2的lis最小末尾是3,於是可以把5淘汰掉,這時候b[1..2] = 1, 3,len = 2

繼續,d[5] = 6,它在3後面,因為b[2] = 3, 而6在3後面,於是很容易可以推知b[3] = 6, 這時b[1..3] = 1, 3, 6,還是很容易理解吧? len = 3 了噢。

第6個, d[6] = 4,你看它在3和6之間,於是我們就可以把6替換掉,得到b[3] = 4。b[1..3] = 1, 3, 4, len繼續等於3

第7個, d[7] = 8,它很大,比4大,嗯。於是b[4] = 8。len變成4了

第8個, d[8] = 9,得到b[5] = 9,嗯。len繼續增大,到5了。

最後乙個, d[9] = 7,它在b[3] = 4和b[4] = 8之間,所以我們知道,最新的b[4] =7,b[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9,len = 5。

於是我們知道了lis的長度為5。

注意,這個1,3,4,7,9不是lis,它只是儲存的對應長度lis的最小末尾。有了這個末尾,我們就可以乙個乙個地插入資料。雖然最後乙個d[9] = 7更新進去對於這組資料沒有什麼意義,但是如果後面再出現兩個數字 8 和 9,那麼就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6],得出lis的長度為6。

然後應該發現一件事情了:在b中插入資料是有序的,而且是進行替換而不需要挪動——也就是說,我們可以使用二分查詢,將每乙個數字的插入時間優化到o(logn)~~~~~於是演算法的時間複雜度就降低到了o(nlogn)~!

**如下(**中的陣列b從位置0開始存資料):

cpp**  

#include 

#include 

#include 

#define n 9 //陣列元素個數

int array[n] = ; //原陣列

int b[n]; //在動態規劃中使用的陣列,用於記錄中間結果,其含義三言兩語說不清,請參見博文的解釋

int len; //用於標示b陣列中的元素個數

int lis(int *array, int n); //計算最長遞增子串行的長度,計算b陣列的元素,array迴圈完一遍後,b的長度len即為所求

int bisearch(int *b, int len, int w); //做了修改的二分搜尋演算法

int main()  

return 0;  

}  int lis(int *array, int n)  

else

}  return len;  

}  //修改的二分查詢演算法,返回陣列元素需要插入的位置。

int bisearch(int *b, int len, int w)  

return left;//陣列b中不存在該元素,則返回該元素應該插入的位置

}  

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