4.3-1 證明：t(n)=t(n-1)+n的解為o（n2
）。 c(
n−1)
2+n≤
n2cn
2−2c
n+c+
n≤n2
cn2−
(2c−
1)n+
1≤n2
當c大於等於1時成立
4.3-2 證明：t(
n)=t
(⌈n/
2⌉)+
1的解為
o（lg
n） c
lgn2+
1=clg
n−clg
2+1=
clgn−
c+1≤
lgn當c大於等於2時成立
4.3-3 我們看到 t(
n)=2
t(⌊n
/2⌋)
+n的解為o（nlgn）。證明ω（nlgn）也是這個遞迴式的解。從而得出結論：解為θ（nlgn）
解：（1）t(
⌊n/2
⌋)≤c
⌊n/2
⌋lg(
⌊n/2
⌋)t(
n)≤2
(c⌊n
/2⌋l
g(⌊n
/2⌋)
)+n<=cn
lg(n
/2)+
n=cn
lgn−
cnlg
2+n=
cnlg
n−cn
+n如果c>=1，則有 cnlgn-cn+n <=cnlgn。所以t(n)=2t(⌊n/2⌋)+n的解為o(nlgn)。
（2）t(⌊n
/2⌋)
≥c⌊n
/2⌋l
g(⌊n
/2⌋+
dn)。
則有：t
(n)≥
2(c⌊
n/2⌋
lg(⌊
n/2⌋
))+n
≥c(n
)lg(
n/2)
+n+2
dn=c
nlgn
+(d−
c)n+
n+dn
>=cn
lgn+
dn若d>c， 所以t(n)=2t(⌊n/2⌋)+n的解為ω(nlgn)。
綜上，t(n)=2t(⌊n/2⌋)+n的解為θ(nlgn)。
4.3-4 證明：通過做出不同的歸納假設，我們不必調整歸納證明中的邊界條件，即可克服遞迴式（4.19）中邊界條件t(1)=1帶來的困難。
猜測為t(n
)≤cn
lgn+
cd
4.3-5 證明：歸併排序的「嚴格」遞迴式（4.3）的解為θ（nlgn）
同4.3-3
4.3-6 證明：t(
n)=2
t(⌊n
2⌋+17
)+n 的解為o（nlgn）。
解：不會
4.3-7~4.3-9待整理。
第四章 函式和遞迴例題
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