研究生這麼多年，遇到ax=0的求解問題，從來都是使用svd分解直接取 v矩陣的最後一列作為方程的解，但是始終沒有弄明白其中的原理，最近找到幾篇文章，講解了這個問題，感覺一下子清晰了很多。
核心部分：
齊次線性方程組的最小二乘問題可以寫成如下：
min ||ax||
s.t ||x||=1
目標函式：||ax|| = x'a'ax = x'lamda x=lamda||x||=lamda,其中lamda是a'a的特徵值。
於是可知，得到了a'a的最小特徵值，就得到了最優值，而其最小特徵值對應的特徵向量就是最優解.
使用svd分解矩陣a，[u s v] = svd(a); u 由 a*a'的特徵向量組成，v 由 a'*a的特徵向量組成，因此，奇異值矩陣s中最小的奇異值對應的v中的奇異向量即為最小二乘解。
ps： 上述目標函式推導這段有些問題，但是不妨礙理解，目標就是要最小化||ax||
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ax=0
這是乙個齊次線性方程組（一般的非齊次線性方程組ax=b其實也都可以化為齊次方程組的形式，所以比較普遍）
先要說明在非齊次方程組中，a到底有沒有解析解，可以由增廣矩陣來判斷：
而在齊次方程中(
r(a | b) =r
(a | 0)=r(a)
)，根據a來分，只剩下了兩種情況：
1.r(a)=未知數個數n（約束較強）
1.1.a是方陣
由克萊姆法則可知：
如果a是n*n的方陣而且r（a）=n，那麼該方程組有唯一的零解。
1.2.a不是方陣，a是m×n的(m>n)
由另乙個定理：齊次線性方程解空間維數 = n - r(a) 可知，該解空間維數為0, 也就是說該解空間只含有零向量。
2.r(a)《未知數個數n（約束不夠）
這裡a是不是方陣已經無所謂了，也沒有什麼法則可以用，就只分成一種情況。
由齊次線性方程組解空間維數 = n - r(a) >0，所以該齊次線性方程組有非零解，而且不唯一（自由度為 n - r(a))。
(多謝wereineky指出錯誤)
在我們做一些實際問題的時候，經常在 1.2(當然嚴格來說1.1也有可能啦)會卡住，這時實際上是沒有真正的非零解析解的，因為約束太多了，沒法都滿足(零向量除外)。但是可以折中一下，每乙個方程都滿足個大概，這就要求最小二乘解。求取最小二乘解的方法一般使用svd，即奇異值分解。
解空間維數與r(a)的關係的感性認識：
r(a)可以理解為一種約束條件的強弱的表現（約束的強弱不只是表面上的方程個數）。比如有乙個方程組，每個方程都是一樣的，那麼其秩為1,方程的個數對約束毫無貢獻。
繼續看a的秩，也就是約束的個數是怎麼影響解空間的維數的。 比如
x1 + x2 + x3 = 0
x1 + 2x2 + 3x3 = 0
r(a)=2，消去x1之後得到:
x2 + 2x3 = 0
x2或者x3一旦確定，其餘的未知量就都隨之確定了，所以自由度為1,所以解空間維數為1。 即：
如果 r(a)=c，那麼c個方程一共最多可以消去c-1個未知數（比如滿秩方陣，最後只留乙個未知數，得到唯一解），於是得到的方程由n-(c-1)個未知數組成，該方程有 n-c個自由度，也就是說解空間的維數為 n-c。
上述過程在高斯消去法中表現：
假設消去過後的a如下：
x x x x x
0 x x x x
0 0 x x x
0 0 0 x x
0 0 0 0 0
那麼最後乙個非全0行的x個數為 num = n-r(a)+1，則可以看到，該行的自由度，決定了所有解的自由度（因為一旦改行確定，其他都確定了,自由區其實可以理解為用將多少變數固定，就能夠確定整個矩陣），而該行的自由度=num-1=n-r(a)=齊次線性方程組解空間的維數，bingo!
svd與最小二乘解：
svd：奇異值分解，是在a不為方陣時的對特徵值分解的一種拓展。奇異值和特徵值的重要意義相似，都是為了提取出矩陣的主要特徵。 對於
齊次線性方程 a*x =0;當a的秩大於列數時，就需要求解
最小二乘解，在||x||=1的約束下，其最小二乘解為矩陣a'a最小特徵值所對應的特徵向量。
假設x為a'a的特徵向量的情況下，為什麼是最小的特徵值對應的x能夠是目標函式最小證明(多謝hukexin0000指出錯誤，這個約束太強，只能提供一點點感性認識，具體的證明請查閱相關教科書)：
齊次線性方程組的最小二乘問題可以寫成如下：
min ||ax||
s.t ||x||=1
目標函式：||ax|| = x'a'ax = x'lamda x=lamda||x||=lamda,其中lamda是a'a的特徵值。
於是可知，得到了a'a的最小特徵值，就得到了最優值，而其最小特徵值對應的特徵向量就是最優解.
而對m進行svd分解(*表示共軛轉置)：
可見m*m的特徵向量就是v的列向量。
求解：
求解方法有兩種（matlab）：
1.
[v d] =eig(a'*a);d為a'*a的特徵值對角矩陣，v為對應的特徵向量。找到最小特徵值對應的v中的特徵向量即為最小二乘解。
2.使用svd分解矩陣a，[u s v] = svd(a); u 由 a*a'的特徵向量組成，v 由 a'*a的特徵向量組成，因此，奇異值矩陣s中最小的奇異值對應的v中的奇異向量即為最小二乘解。
對於超定方程（非齊次線性方程的一種）的最小二乘解的情況。a*x =b ;
當a的行數大於列數時，方程組無解，就需要求解最小二乘解。在matlab中使用乙個
左除命令就可以得到最小二乘意義下的解。這個解沒有模製的限制，就是實際的解。matlab：a\b
兩種方法其實是乙個意思。
這篇資料還是很不錯的，講述了svd與pca的關係，其中的推薦資料也很不錯。
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