斐波拉契數列漢諾塔，青蛙跳台階

斐波拉契數列、漢諾塔，青蛙跳台階的演算法實現

一.斐波那契數列（1,1,2,3,5,8,13,21,34 ......）f(

n)=⎧

⎩⎨⎪⎪

0,1,

f(n−

1)+f

(n−2

),n=

0n=1

2遞迴解法（效率很低）

public 
function
fibonacci1($
n) 
if($n == 1)
return
fibonacci1($n - 
1) + fibonacci1($n - 2);
}

2 迴圈解法：改進的演算法：從下往上計算。首先根據f(0)和f(1)算出f(2)，再根據f(1)和f(2)算出f(3)。。。。。依此類推就可以算出第n項了。很容易理解，這種思路的時間複雜度是o(n)。實現**如下：


public 
function 
fibonacci($n)
; 
if($n < 2)
return
$result[$n];
$one= 1;
$tow= 0;
for($
i = 
2; $i <= $n ; ++$i)
return
$fibn;
}

二.漢諾塔

簡單的用

php實現了漢諾塔問題的求解，使用遞迴呼叫，但是用php實現要是盤子的個數很多的話，執行起來會很慢的...

漢諾塔主要是有三個塔座x，y，z，要求將三個大小不同，依小到大編號為1，2.....n的圓盤從a移動到塔座z上，要求

（1）：每次只能移動乙個圓盤

（2）：圓盤可以插到x，y，z中任一塔座上

（3）：任何時候不能將乙個較大的圓盤壓在較小的圓盤之上

主要是運用了遞迴的思想，這裡使用php做個簡單的實現...... 1

<?php

functionhanoi($n,$x,$y,$z)else

}

functionmove($x,$n,$z)

hanoi(10,'x','y','z');

?>

三.青蛙跳

乙隻青蛙一次可以跳上1級台階，也可以跳上2級。求該青蛙跳上乙個n級的台階總共有多少種跳法。

與斐波那契數列不同的是，其初始值定義稍有不同，

當n=1時，只能跳一級台階，一種跳法

當n=2時，一次跳一級或兩級，兩種跳法

所以，關於青蛙跳台階的定義如下：

假設n級台階是f(n)的乙個函式，當n = 1時候只有一種跳法，n=2時候可以一次跳1台階，也可以一次跳兩個台階有兩種跳法，但是當n>2時，第一次跳有兩種不同的選擇，選擇跳乙個台階，那麼就剩餘f(n-1)種選擇，如果第一次跳2台階接下來有f(n-2)種選擇跳台階，所以n級台階的不同跳法f(n)=f(n-)+f(n-2)f(

n)=⎧

⎩⎨⎪⎪

1,2,

f(n−

1)+f

(n−2

),n=

1n=2

n>2

非遞迴寫法(借鑑)

long
long frogjump12step(int n)
if (n == 1)
return
1; if (n == 2)
return
2; int frognminusone = 2;//f(n-1)=2
int frognminustwo = 1;//f(n-2)=1
int frogn = 0;
for (unsigned
int i = 3; i <= n;++i)
return frogn;
}

遞迴解法（借鑑）

long
long frogjump12steprecursive(int n)
if (n == 1)
return
1; if (n == 2)
return
2; return frogjump12steprecursive(n - 1) + frogjump12steprecursive(n - 2);
}

四.青蛙跳公升級版：

乙隻青蛙一次可以跳上1級台階，也可以跳上2級......它也可以跳上n級，此時該青蛙跳上乙個n級的台階總共有多少種跳法？

按照上面的推理：

n = 1 時，只有一種跳法 f(n) = 1;

n = 2 時 , 有兩種跳法，第一次跳乙個台階，第一次跳2台階f(2) = f(1) + f(0) = 2;

n = 3 時，f(n)= 3;第一次跳1個台階，就剩餘f(3-1) 跳法，第一次跳二台階，就剩餘f(3-2) ,第一次跳出3台階，後面還有f(3-3) ,f(3) = f(2)+f(1)+f(0) = 4

......

n = n ,第一次共有n種跳法,第一次跳1台階，後面還有f(n-1),第一次跳2，後面還有f(n-2),第一次跳3 ，後面還有f(n-3），。。。。。。，第一次跳n台階，後面還有f(n-n)

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + f(n-4) + ......+f(n-n);

因為f(n-1) = f(n-2) + f(n-3) + f(n-4) + ......+f(n-n);

=> f(n) -f(n-1) = f(n-1)

=> f(n) = 2f(n-1) n>2f(

n)=⎧

⎩⎨⎪⎪

1,2,

2∗f(

n−1)

,n=1

n=2n

所以：f(n

)=2∗

f(n−

1)=2

∗2(n

−2).

...=

2n−1

∗f(0

)=2n

−1非遞迴解法：

public function 
frogjump12nstep($n)
else
if (n == 1)
return
1; else
return
$fn;
}}

遞迴解法

public function 
frogjump12nsteprecursive($n)
else
if($n == 1)
return1;
else
if($n == 2)
return2;
else
return
2* frogjump12nsteprecursive($n - 1);
}

斐波拉契數列漢諾塔，青蛙跳台階

青蛙跳台階問題斐波拉契數列動態規劃

青蛙跳台階（斐波那契數列應用）

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