線性系統的最重要的特徵是：系統對激勵的反應是線性的，而且系統本身是線性的，牢記
疊加組合性。
例如：二階線性微分方程 x"＋2xˊ＋5x=0 ， x︱t=0 =0 ，xˊ︱t=0 =0
這是個齊次二階常係數微分方程，對應的初始條件為均0，意味著系統初始狀態為0，由於系統無激勵，系統的初始狀態又為0，所以系統不運動，即x=0。
對這種方程，最簡單的是根據特徵方程的根求系統的響應，即求微分方程的解。其原理如下：
設x=e^(st);帶入微分方程，即得特徵方程s^2+2s+5=0，解的根為：s1=-1+2i;s2=-1-2i。
故微分方程的解系的兩個基為：x1=e^(s1*t)=e^(-t)*e^(i2t)；x2=e^(s2*t)=e^(-t)*e^(-i2t)。
通解x=c1*x1+c2*x2。注：因為是線性系統方程，解為基的線性組合。
我們更一般的解法是將基轉換成實函式的形式。根據尤拉公式，x1『=（x1+x2）/2=e^(-t)*cos(2t)；同理，x2'=e^(-t)*sin(2t)。則x=c1'*e^(-t)*cos(2t)+c2'*e^(-t)*sin(2t)。
根據初始條件 x︱t=0 =0 ，xˊ︱t=0 =0，可解得c1『=0；c2'=0。驗證了上面的結論，另外，可以將解帶入原微分方程進行檢驗。
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