更新：9 apr 2016
對於任意的二元二階齊次線性偏微分方程，
\(a_\dfrac+2a_\dfrac+a_\dfrac+b_1\dfrac+b_2\dfrac+cu=0\)
求特徵方程、確定分類、化為標準型的方法為：
1.截：只關心其中的二階部分
\(a_\dfrac+2a_\dfrac+a_\dfrac=0\)
2.換：將偏導數換成dx、dy
\(\dfrac \rightarrow (dy)^2\)
\(\dfrac \rightarrow (dx)^2\)
\(\dfrac \rightarrow \color}(dxdy)\) 注意負號！
\(a_(dy)^2\color}2}a_(dxdy)+a_(dx)^2=0\)
此即特徵方程。
3.分：特徵方程中的係數\(a_\)可能是關於x、y的函式，即便如此仍視其為普通係數。這是乙個二次方程，可以寫出其\(\delta\)
\(\delta=a_^2-a_a_\)
在方程的定義域內討論其符號，
\(\delta<}0\) 橢圓形(elliptic)方程，如laplace方程；
\(\delta=0\) 拋物型(parabolic)方程，如一維熱方程；
\(\delta>}0\) 雙曲型(hyperbolic)方程，如一維波動方程。
此即方程的分類。此外有混合型。
4.反：解出dy與dx的關係式，注意用分解因式法可能比較簡單。得到兩個常微分方程（或乙個）。
得到兩個方程時，解出兩個y與x的關係，注意這兩個等式中分別有乙個積分常數。將積分常數作為新的座標（記作\(\xi, \eta\)），反寫兩等式，即用x、y表示這兩個座標。這時就進行了變數代換。
對於拋物型方程，得到乙個常微分方程，解之，得到乙個座標；另乙個座標可以任意假設，如設作y。注意做偏微分時不能直接替換，需要用鏈式法則計算。
5.導：計算u關於x、y的一階、二階偏導數與混合偏導數，用\(\xi, \eta\)表示。
6.代：將上面的偏導數代入原方程，得到簡化的以\(\xi, \eta\)為自變數的方程。此即方程的標準型。
7.解：按照標準解法解之，得到關於\(\xi, \eta\)的通解。代換回x,y利用邊界條件解之。
之所以寫特徵方程，是因為在這裡希望將原方程
\(a_\dfrac+2a_\dfrac+a_\dfrac+b_1\dfrac+b_2\dfrac+cu=0\)
化為\(a_\dfrac+2a_\dfrac+a_\dfrac+b_1\dfrac+b_2\dfrac+cu=0\)
其中變數代換
\(\xi=\varphi(x,y)\)
\(\eta=\psi(x,y)\)
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