抽象代數的課程我是第二次上了，可是在群論部分知識點還是缺乏理解、融會和梳理，而且有一種知識點零碎無規律的感覺。我缺乏一種巨集觀上俯視全域性的經驗，因此被老師上課抄板書式的講課帶得「迷惘、疲勞而無所得」。這裡，我希望提供乙個全域性的視角，將抽象代數中的群論、群表示論和一些李代數稍作梳理彙總。
注意本文完全不整理證明方法，任何結論都在課本上給出了證明。本文只是給出整體的影象，而且會夾雜個人的形象化描述和模擬，語言上算不上嚴謹。
群的定義共有四條：「封結么逆」。子群的判定有兩種。
子群一定包含么元。如果確定了乙個群的非平凡子群，一定可以取某個該子群外的元素，構造該子群的乙個傍集。傍集與子群「平行」（即元素數目相等，不相交），但是傍集並不是群。再取子群和傍集之外的元素繼續構造另乙個傍集……這樣可以將大群進行「整齊的」劃分，這就是lagrange定理。任何大群中的元素都必然屬於某乙個傍集（子群也算傍集）。
這些傍集實際上可以用其中的乙個元素作為代表（等價類），換句話說，傍集之集可以看成是乙個「低解析度」的大群，元素被一組一組地「捏」成乙個點。乙個很自然的想法是這個「低解析度」的集合（傍集之集）是否仍然是群。對於\((ha)(hb)=h(ab)\)這種乘法運算成立的條件顯然是任何a要能穿過h：\(ah = ha\)。這裡並不要求a和h中每個元素交換，只是要求h中的元素在任意「共軛變換」（\(g^hg\)）之後仍然能夠落在子群h中。此條件即傍集之集為群的充要條件；並且由此定義乙個群的正規子群：即能夠使其傍集之集為群的子群，若傍集之集為群則稱之為商群。因此，將乙個群「粗糙化」捨棄掉一些資訊使其變成乙個小群「商群」的方法是找乙個（非平凡）正規子群；這個過程或許可以命名為一種「除法」，正規子群是「除數」。（顯然這裡一定能「整除」。）
對於由群中的乙個任意的子群而言，大群的所有元素可以簡單分成兩類：滿足\(ah=ha\)的和不滿足的。將所有滿足\(ah=ha\)的元素歸到乙個集合中，這個集合就是乙個群，稱為子群h的正規化子，也就是最大的包含h作為其正規子群的子群，記作\(n(h)\)。這個記號似乎可以看成是乙個「函式」。
乙個群的運算不一定是交換的，可能在某些元素上有交換性：某些元素與其他任何元素的運算都可交換，比如么元。這些對其他任何元素具有交換性的元素之集是乙個群，稱為大群的中心。中心必定是正規子群，而且條件是在「共軛變換」下保持不動。
類似正規化子，我們也可以定義中心化子。對群的子集（注意是子集即可），取大群中所有能夠與此子集中的元素都交換的元素作為乙個集合，即子集的中心化子，通常記作\(c(s)\)。仔細思考\(c(g)\)（g是大群）即為g的中心。
群到群的對映若保持兩群的運算規則（可以理解為連同運算一起對映）即為群同態。顯然同態必然將么元映為么元，逆元映為逆元，子群映為子群，正規子群映為正規子群，商群映為商群。此即對應定理。
「對稱」的群同態，即一一對映，稱為群同構；而同構的兩群實際上是完全一樣的，只是元素的表示花樣不一樣罷了（所以可以視同構為「相等」）。而「非對稱」的同態，只可能將乙個群投影「變小」（即像的階數變小）。這樣的同態只能將乙個群投影為乙個小群（滿射而非單射）或者投影為另乙個更大群的一部分（單射而非滿射）。顯然「不對稱」的情況下同態會將多個元素映為乙個點，例如映為像中的么元。這些被映到么元的元素組成乙個子群，稱為同態的核（ker）。同態的核顯然是乙個正規子群，這是由像中么元的交換性質反推得出的。對於同態\(f\)，乙個群「除以」同態核\(kerf\)就等於像\(imf\)，此即同態基本定理。
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