\(1.\)上三角行列式:
\[d=\begin
a_&a_&\dots&a_\\
0&a_&\dots&a_\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&\dots&a_
\end
\]稱為上三角行列式,即主對角線下均為\(0\)的行列式,其值等於
\[d=\prod_^n a_
\]即主對角線上元素的乘積.
\(2.\)下三角行列式:
\[d=\begin
a_&0&\dots&0\\
a_&a_&\dots&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_&a_&\dots&a_
\end
\]稱為下三角行列式,即主對角線上均為\(0\)的行列式,其值等於
\[d=\prod_^n a_
\]與上三角行列式相等.
\(3.\)次對角線行列式:
\[d=\begin
0&\dots&0&a_\\
0&\dots&a_&a_\\
\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
a_&\dots&a_&a_
\end=\begin
a_&\dots&a_&a_\\
0&\dots&a_&a_\\
\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&\dots&0&a_
\end
\]稱為次對角線行列式,其值都等於
\[d=(-1)^2}\prod_^n a_
\]\(4.\)範德蒙德行列式:
\[d=\begin
1&1&\dots&1\\
a_1&a_2&\dots&a_n\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_1^n&a_2^n&\dots&a_n^n
\end=
\begin
1&a_1&\dots&a_1^n\\
1&a_2&\dots&a_2^n\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
1&a_n&\dots&a_n^n
\end
\]稱為範德蒙德(vandermonde)行列式,其值等於:
\[d=\prod_)=\begin
a_&a_&\dots&a_\\
a_&a_&\dots&a_\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_&a_&\dots&a_
\end=d.
\]\(2.\)交換行列式的不相等的兩行(列),行列式變號.我們把交換第\(i,j(i\ne j)\)行(列)的操作記作\(r_i\leftrightarrow r_j\)(\(c_i\leftrightarrow c_j\)).
\(3.\)將行列式的一行(列)乘以\(k\),整個行列式乘以\(k\).我們把將第\(i\)行(列)乘以\(k\)的操作記作\(r_i\times k\)(\(c_i\times k\)).
推論1: 行列式的一行全為\(0\),行列式等於\(0\).
推論2: 行列式某一行的公因子可以提到行列式外面.
\(4.\)把行列式的某行(列)元素的\(k\)倍,加到行列式的另一行(列)上,行列式不變.我們把將第\(i\)行(列)的\(k\)倍加到第\(j(i\ne j)\)行(列)的操作記作\(r_j+r_i\times k\)(\(c_j+c_i\times k\)).
推論3: 行列式的兩行對應成比例,行列式等於\(0\).
上面的\(2,3,4\)性質稱為行列式的行變換性質.
\(5.\)行列式的某行(列)的每個元素可以表示成兩數的和,則行列式等於兩個加數對應的替換該行(列)的行列式之和.如,設
\[d=\begin
a_&a_&\dots&a_\\
a_&a_&\dots&a_\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
b_+c_&b_+c_&\dots&b_+c_\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_&a_&\dots&a_
\end
=\begin
a_&a_&\dots&a_\\
a_&a_&\dots&a_\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
b_&b_&\dots&b_\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_&a_&\dots&a_
\end
+\begin
a_&a_&\dots&a_\\
a_&a_&\dots&a_\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
c_&c_&\dots&c_\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_&a_&\dots&a_
\end
\]有了這些性質(主要是性質\(4\)),我們就可以把行列式轉化為已知的行列式型別(大多數為三角行列式),快速求值.這種方法的本質是gauss消元(gaussian elimination).
栗子:求
\[d=\begin
2&-1&3\\
4&2&5\\
2&0&2
\end
\]解:
\[\begin
d&}\begin
2&-1&3\\
0&4&-1\\
2&0&2
\end\\
&}\begin
2&-1&3\\
0&4&-1\\
0&1&-1
\end\\
&}-\begin
2&-1&3\\
0&1&-1\\
0&4&-1
\end\\
&}-\begin
2&-1&3\\
0&1&-1\\
0&0&3
\end\\
&=-(2\times1\times3)=-6.
\end
\]gauss消元演算法是\(o(n^3)\)的.運用熟練之後,是非常快的行列式求值方法.
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