栗子:試討論以下方程的解.
\[\begin
a_x_1+a_x_2=b_1\qquad(1)\\
a_x_1+a_x_2=b_2\qquad(2)
\end
\]解:將\((1)\)乘以\(a_\),\((2)\)乘以\(a_(11)\)有
\[\begin
a_a_x_1+a_a_x_2=a_b_1\qquad(3)\\
a_a_x_1+a_a_x_2=a_b_2\qquad(4)
\end
\]消去\(x_1\)有
\[(a_a_-a_a_)x_2=a_b_2-a_b_1\]即
\[x_2=\fracb_2-a_b_1}a_-a_a_}
\]重複對\(x_2\)消元,有
\[x_1=\fracb_1-a_b_2}a_-a_a_}
\]當\(a_a_-a_a_\ne0\)時,方程組有唯一解;
當\(a_a_-a_a_=0\)時,若\(a_b_2-a_b_1=a_b_1-a_b_2=0\),則方程有無窮多組解;否則,方程無解.
為了方便,我們引入記號
\[\begin
a_&a_\\
a_&a_
\end=a_a_-a_a_
\]稱為二階行列式(determinant).於是,記
\[d=\begin
a_&a_\\
a_&a_
\end
\]稱為方程組的係數行列式,而
\[d_1=\begin
b_1&a_\\
b_2&a_
\end,
d_2=\begin
a_&b_1\\
a_&b_2
\end
\]分別稱為是用常數列\((b_1,b_2)\)替換係數行列式第\(1,2\)列得到的行列式.於是,方程組的解就可以表示為
\[x_1=\fracd,x_2=\fracd,d\ne0
\]考慮以下方程組:
\[\begin
a_x_1+a_x_2+a_x_3=b_1\\
a_x_1+a_x_2+a_x_3=b_2\\
a_x_1+a_x_2+a_x_3=b_3
\end
\]引入
\[\begin
a_&a_&a_\\
a_&a_&a_\\
a_&a_&a_
\end\\
\begin
&=a_a_a_+a_a_a_+a_a_a_\\
&-a_a_a_-a_a_a_-a_a_a_
\end
\]稱為三階行列式,令
\[d=\begin
a_&a_&a_\\
a_&a_&a_\\
a_&a_&a_
\end,
d_1=\begin
b_1&a_&a_\\
b_2&a_&a_\\
b_3&a_&a_
\end,
d_2=\begin
a_&b_1&a_\\
a_&b_2&a_\\
a_&b_3&a_
\end,
d_3=\begin
a_&a_&b_1\\
a_&a_&b_2\\
a_&a_&b_3
\end,
\]則方程組的解可表示為:
\[x_1=\fracd,x_2=\fracd,x_3=\fracd
\]為方便記憶,對於三階行列式有對角線法則:
紅線上的數相乘取正號,藍線上的數相乘取負號,相加即可.
栗子:計算行列式
\[d=\begin
2&0&1\\
1&-4&-1\\
-1&8&3
\end
\]解:由對角線法則,
\[\begin
d&=2\times(-4)\times3+0\times(-1)\times(-1)+1\times1\times8\\
&-1\times(-4)\times(-1)-0\times1\times3-2\times(-1)\times8\\
&=-24+8-4+16=-4.
\end
\]定義:對於\(n\times n\)個數組成的數表
\[\begin
a_&\dots&a_\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_&\dots&a_
\end\]稱
\[d=\begin
a_&\dots&a_\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_&\dots&a_
\end
\]稱為這\(n\times n\)個數排成的\(n\)階行列式,記作
\[d=\det_n(a_)=|a_|_n
\]其中,\(a_\)稱為行列式的元素.
行列式的計算規則為
\[d=\sum_\left[\left(-1\right)^\prod_^n a_\right]
\]其中,\(\omega\)是\(1,2,\dots,n\)全體排列(\(n!\)個)構成的集合,\(\sigma(p)\)表示排列\(p\)中的逆序對個數,即所有滿足\(i且\(p_i>p_j\)的\((i,j)\)的對數.
對於乙個\(n\)元方程組
\[\begin
a_x_1+a_x_2+\dots+a_x_n=b_1\\
a_x_1+a_x_2+\dots+a_x_n=b_2\\
\vdots\\
a_x_1+a_x_2+\dots+a_x_n=b_n
\end\]記
\[d=\det_n(a_)=\begin
a_&\dots&a_\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_&\dots&a_
\end
\]稱為該方程組的係數行列式,而
\[d_=\begin
a_&\dots&a_&b_1&\dots&a_\\
a_&\dots&a_&b_2&\dots&a_\\
\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_&\dots&a_&b_n&\dots&a_
\end
\]為將係數行列式中的第\(i\)列替換為\((b_1,b_2,\dots,b_n)\)的行列式,\(i=1,2,\dots,n\),則當\(d\ne0\)時,方程組有唯一解
\[x_i=\fracd,i=1,2,\dots,n
\]當\(d=0\)且
\[d_1=d_2=\dots=d_n=0
\]時,方程組有無窮多組解;否則,方程組無解.上述關於行列式和線性方程組的結論稱為克拉默法則(cramer's rule),可以方便地計算方程組的解.
顯然,根據定義計算行列式是非常繁瑣的,從分析學上講,這樣的複雜度至少是\(o(n!\cdot n\log n)\)的.於是,我們應當盡量簡化計算.
對於行列式\(d=\det_n(a_)\)的某個元素\(a_\),將其所在行和列的所有元素都去掉所構成的\(n-1\)階行列式稱為\(a_\)的余子式(cofactor),記為\(m_\).比如,對於四階行列式
\[d=\begin
a_&a_&a_&a_\\
a_&a_&a_&a_\\
a_&a_&a_&a_\\
a_&a_&a_&a_
\end
\]\(a_\)的余子式就等於
\[m_=\begin
a_&a_&a_\\
a_&a_&a_\\
a_&a_&a_
\end.
\]特別地,定義\(a_=(-1)^m_\),稱為\(a_\)的代數余子式.
任何乙個行列式等於其某一行(列)的元素與其代數余子式的乘積之和.即,設選取的行(列)為\(j\),則
\[d=\sum_^n a_a_=\sum_^n a_a_.
\]比如,對於三階行列式,有
\[d=\begin
a_&a_&a_\\
a_&a_&a_\\
a_&a_&a_
\end\\
\begin
&=a_a_+a_a_+a_a_\\
&=a_\begina_&a_\\a_&a_\end-a_\begina_&a_\\a_&a_\end+a_\begina_&a_\\a_&a_\end\\
&=a_a_a_+a_a_a_+a_a_a_\\
&-a_a_a_-a_a_a_-a_a_a_
\end
\]這樣,就可以把\(n\)階行列式的計算轉化為\(n\)個\(n-1\)階行列式的計算,如此降階下去,直到降為\(2\)階,即可直接計算,複雜度就降到了\(o(n!)\).然而,儘管如此,行列式的計算還是很慢.之後,我們會介紹快速的\(o(n^3)\)高斯消元法.
線性代數三部曲 二 Gauss消元
1.上三角行列式 d begin a a dots a 0 a dots a vdots vdots ddots vdots 0 0 dots a end 稱為上三角行列式,即主對角線下均為 0 的行列式,其值等於 d prod n a 即主對角線上元素的乘積.2.下三角行列式 d begin a ...
學習線性代數 行列式 筆記（一）
什麼是排列 比如 1，2，3，4，5 n 上面這個排列也叫作n級排列，n級排列的的組合有n的階乘種。逆序數 逆序 是指較大的數排在了前面。逆序數 數列中的每個數後面有多少個數比它本身小的總和。比如 45231 3 3 1 1 0 8 第乙個數4後面2 3 1比它小，所以是3 第二個數5後面2 3 1...
高等代數 線性代數 總結記錄三 行列式運算
根據上面的總結我們可以知道,方程組的未知數個數一定大於等於係數矩陣的秩.那麼我們能不能快速判斷線性方程組是否是唯一解 即方程組的秩等於未知數的個數或稱為滿秩 呢?這就是行列式的乙個很重要的作用 判斷方陣是否滿秩.行列式的運算由線性方程組的求解結果推導得到,因此這裡也從低階行列式進行推導.下面是乙個有...