首先ax=
yax=y
ax=y
可以視為乙個系統
輸入了x
xx得到了y
yy
\xiξ)下的座標，而a則為另外一組基(λ
\lambda
λ)引用知乎已登出大佬的圖來直觀的解釋
所以可以總結，ax=
yax=y
ax=y
的過程，實際就是用新基λ
\lambda
λ將舊基ξ
\xiξ替換掉，但是仍然使用相同的座標。比如上圖中，原本輸入x是1ξ1
+2ξ2
1\xi_1+2\xi_2
1ξ1+2
ξ2，但是輸出為1λ1
+2λ2
1\lambda_1+2\lambda_2
1λ1+2
λ2。很明顯，儘管是相同的係數，但是由於基不一樣，那麼最終得到的新的向量肯定不是最開始的那個xxx。
但是注意的是，得到的新的向量y
yy卻仍然是用基ξ
\xiξ來表示的。這是很神奇的一點，我們也可以這麼理解：基ξ
\xiξ和基λ
\lambda
λ各自張成了乙個線性空間，而x
xx只是普通的一組數，那麼它可以是基ξ
\xiξ上的一組向量，但是同時也可以是基λ
\lambda
λ上的一組向量。但是ax=
yax=y
ax=y
這個過程其實就是把原本在基λ
\lambda
λ（新基）下表示的乙個向量，對映到基ξ
\xiξ（舊基）上，進而就得到了yyy。
換個角度來看，舊基ξ
\xiξ其實就是i
ii，就是aiai
ai，相當於對原本的基進行了乙個變換，a
aa就是變換的方式。注意，在此之前，a
aa都是作為乙個矩陣被我們討論，但是此處aiai
ai相當於對i
ii進行左乘了乙個變換矩陣a
aa，所以這裡的a
aa可以被視為是一種變換。
矩陣是變換的數字表達，變換是矩陣的實際意義的體現。
那麼我們就可以這麼理解：
矩陣對向量的加工是通過改變基向量來實現的在這個分析的基礎上，取y
yy為不同的數值，比如0
00，那麼為齊次方程；如果為b(b
≠0)b(b\ne 0)
b(b=
0)，那麼為非齊次的。
那麼這裡就可以聯想到方程組ax=
bax=b
ax=b
有解的條件。
矩陣對向量進行加工，行列式能夠描述這種加工作用的強弱如上圖，行列式可以定義為基向量張成的面的面積，如果假設原來的面的面積為1，新的面的面積為s
s>0，沒什麼特別的
s=0，這說明新的兩個向量他們疊在一起了，所以面積才為零
s<0，這說明新的兩個向量和舊的兩個向量之間的先後順序變了，如下圖
上面的第二條，就可以聯想到方程組ax=
bax=b
ax=b
有解的條件。
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