乙個注意點
之前的部分，學習的內容都是長矩陣，之後轉移到方陣上面，對於方陣我們有兩個重要的屬性，乙個是行列式，進而求解特徵值。行列式，我們用符號det
(a)或
者∣a∣
代表矩陣
a的行列
式det(a)或者|a|代表矩陣a 的行列式
det(a)
或者∣a
∣代表矩
陣a的行
列式行列式中可以盡可能多的包含矩陣資訊，如果矩陣可逆<=>對應行列式為0，矩陣不可逆<=>行列式不為0
首先接觸行列式的三條基本性質：
1、性質一：
d et
(i)=
1det(i) = 1
det(i)
=12、性質二
交 換行
，det
符號相反
交換行，det符號相反
交換行，de
t符號相
反補充，先給出二維情況下的計算式
∣ ab
cd∣=
ad−b
c\begin a & b \\ c & d \end \quad = ad - bc
∣∣∣∣a
cbd
∣∣∣
∣=a
d−bc
3、性質三
一 、[
tatb
cd]=
t×[a
bcd]
一、 ta & tb \\ c & d \\ \end \right ]} = t \times a & b \\ c & d \\ \end \right ]}
一、[tac
tbd
]=t
×[ac
bd
] 二 、[
a+a『
b+b『
cd]=
[abc
d]+[
a『b『
cd
]二、 a+a^『 & b+b^『 \\ c & d \\ \end \right ]} = a & b \\ c & d \\ \end \right ]} + a^『 & b^『 \\ c & d \\ \end \right ]}
二、[a+a
『cb
+b『d
]=[
acb
d]+
[a『c
b『d
]注意 det
(a+b
)≠de
t(a)
+det
(b
)det(a+b) \neq det(a)+det(b)
det(a+
b)̸
=det
(a)+
det(
b)上面只是說明矩陣的每一行具有線性，但是不代表矩陣具有線性
因為 det(a) = -det(a) =>=>det(a) = 0
每一行，在不交換的情況下，每行進行的操作是 l∗r
owi+
rowk
l* row_i + row_k
l∗rowi
+ro
wk
所以根據性質三，所以有 前後不變
根據性質三，提取t = 0，所以有 det(a) = 0 * …… =0
首先，對角矩陣 可以通過向上消元，變成除了對角線之外，其餘全為0的矩陣，由於消元法時，前後行列式不變，所以有
∣ d1
000d
2000
d3
∣\begin d1 & 0 & 0\\ 0 & d2 &0\\ 0 & 0 &d3\\ \end \quad
∣∣∣∣∣∣
d10
00d
200
0d3
∣∣∣∣
∣∣=>
d 1∗
d2∗d
3∗∣1
0001
0001
∣=d1
∗d2∗
d3
d1 * d2 * d3*\begin 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 &0\\ 0 & 0 &1\\ \end \quad = d1 * d2 * d3
d1∗d2∗
d3∗∣
∣∣∣∣
∣10
001
000
1∣∣
∣∣∣∣
=d1
∗d2∗
d3即為主元乘積。主要運用屬性為
1、消元
2、提取係數
3、單位陣的行列式為1
如果主元為0，說明不可逆，出現了全零行=> 行列式0
如果主元不為0，說明可逆，沒有全零行=>行列式不為0
注意，雖然矩陣不是線性的，但是矩陣相乘的行列式為 單獨的行列式相乘。證明就免了～
所以有i=a
a−
=>de
t(a−
)=1/
det(
a)
i =a a^- => det(a^-) = 1/det(a)
i=aa−=
>de
t(a−
)=1/
det(
a)d et
(a2)
=(de
ta)2
det(a^2) = (deta)^2
det(a2
)=(d
eta)
2 注意det
(2a)
=2n∗
(det
a)
det(2a) = 2^ n *(deta)
det(2a
)=2n
∗(de
ta)可以認為是一種體積的計算，會在各個維度進行碰撞，所以是2 ^n
這一點首先，是表明，對於行列式而言，行列是等地位的，所以有
1、全零行=>行列式為0
2、交換兩列=>行列式符號相反證明∣a∣
=∣at
∣|a| = |a^t|
∣a∣=∣a
t∣=>
∣ lu
∣=∣u
tlt∣
|l u| = |u^t l^t|
∣lu∣=∣
utlt
∣=>
由於l、u都是對角矩陣，所以無論結果轉置前後一致，所以得證
思路是：普通矩陣=>三角矩陣
任何一種置換，都是有嚴格的奇偶性的
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