1 .1二階、三階行列式
1.2 n階行列式
排列與逆序的定義 p4
n階行列式的定義 p7
行列式的兩個重要特點：其一，行數等於列數（這一點與矩陣不同，矩陣行數與列數可能相等，也可能不相等，若相等，又叫做n階矩陣或n階方陣）；
其二，行列式是乙個確定的值；
1.3 行列式的性質 p12
轉置不變、交換變符號、數k乘以某行等於數k乘此行列式、某行元素乘k加於另外一行值不不變、分解的性質
推論：有兩行對應元素相同（成比例），則值為0；
1.4 行列式按行（列）展開
余子式的定義、代數余子式的定義 p22
1.5 克萊姆法則
含有n個方程的n元線性方程組的克萊姆法則 p32
係數行列式的定義 p32
說明：除非特指n階矩陣，否則一般預設為m×n階矩陣。
2.1 矩陣的概念
零矩陣的定義 p52
非負矩陣的定義 p52
n階矩陣定義（又稱n階方陣）p52
矩陣的行列式定義 p52
2.2 矩陣的運算
矩陣的加法定義 p53
矩陣的乘法定義 p56 性質：不滿足交換率、兩個非零矩陣相乘可能是零矩陣、如果ab=ba則稱矩陣a與矩陣b可交換；
數與矩陣的乘法定義 p53
矩陣的轉置 p66
方陣的冪 p67
2.3 幾種特殊的矩陣
對角矩陣的定義 p68
數量矩陣的定義 p69
單位矩陣的定義 p70 性質：可以看成是數量矩陣的特例
三角形矩陣的定義 p70
對稱矩陣的定義 p71
2.4 分塊矩陣 p72
2.5 逆矩陣 p78
矩陣的定義 p78
若ab=ba=i,則稱矩陣a為可逆矩陣，其中i為單位矩陣。
非奇異矩陣的定義 p78
若n階矩陣a的行列式|a|不等於零，則a為非奇異矩陣。
n階矩陣a為可逆的充要條件 p78 充要條件即a為非奇異矩陣，或者說其行列式不等於零。
n階矩陣a可逆的計算公式 p78
2.6 矩陣的初等變換
初等變化內容：
a、交換矩陣的兩行或者兩列；
b、以乙個非零的數k乘以矩陣的某一行或者某一列；
c、把矩陣的某一行或者某一列的l倍加於另外一行或者另外一列上；
初等矩陣的定義 p86
n階矩陣a為可逆的充要條件的另外一種表達 p92
2.7 矩陣的秩
矩陣a的k階子式的定義 p96
矩陣a的秩的定義 p97 存在r階子式不為零，而任何r+1階子式都等於零，則稱r為矩陣a的秩。
乙個非常重要的定理：矩陣經過初等變換後，其秩不變。p97
有上述定理可知，要求任意矩陣的秩，用初等變換化為 a 0
0 0 的矩陣，便可得矩陣的秩r（a）＝r p98
3.1 線性方程組的消元解法
一般線性方程組的定義 p112
一般線性方程組的矩陣形式定義 p112 ax＝b
一般線性方程組的增廣矩陣的定義 p113 (a b)
一般線性方程組的係數矩陣、常數項矩陣以及未知量矩陣的定義 p112 a為係數矩陣、b為常數項矩陣、x為未知量矩陣
消元的解法的過程：消元過程、回代過程
消元解法的實質：實際上就是對該線性方程組的增廣矩陣施以僅限於行的初等變換（即初等行變換）。解線性方程組時，為了書寫簡明，一般只要寫出其增廣矩陣的初等行變換過程即可。
線性方程組有解的充要條件（零解都不一定有哦） p119
齊次線性方程組的定義 p122
齊次線性方程組有非零解的充要條件（因為它一定有零解） p123
3.2 n維向量空間
n維行向量、n維列向量的定義 p125
實n維向量空間的定義 p126
3.3 向量間的線性關係
一般線性方程組的向量形式定義 p127
線性表示的定義 p128
向量b可由向量a線性表示的充要條件 p128 以a1、a2、··an為列向量的矩陣的秩等於以a1、a2、··an、b為列向量的矩陣的秩
齊次線性方程組的向量形式定義 p130
線性相關與線性無關的定義 p131 從線性相關的定義可以看出，線性相關就相當於齊次線性方程組有非零解。
m維列向量組a1，a2，···an線性相關的充要條件 p131 以a1，a2，···an為列向量的矩陣的秩小於向量的個數n
m維列向量組a1，a2，···an線性無關的充要條件 p131 以a1，a2，···an為列向量的矩陣的秩等於向量的個數n
極大無關組的定義 p139
極大無關組的充要條件 p139
向量組的秩的定義 p140 等於極大無關組所含的向量個數
矩陣a的秩為r的充要條件 p140 a的行秩或者列秩為r
3.4 線性方程組的解的結構
基礎解系的定義 p146
齊次線性方程組的解的結構 p146 齊次線性方程組的係數矩陣a的秩數r（a）＝r < n，則基礎解系存在，且每個基礎解系中，含有n－r個解。
非齊次線性方程組的解的結構 p153 匯出組的解＋特解
4.1 矩陣的特徵值與特徵向量
矩陣a的特徵值與特徵向量的定義 p176
矩陣a的特徵矩陣、特徵多項式、特徵方程的定義 p177
乙個重要定理：n階矩陣a互不相同的特徵值對應的特徵向量線性無關 p182
4.2 相似矩陣
相似矩陣的定義 p183 它是對於n階矩陣來說的
相似矩陣的性質 p184 矩陣的秩相同、矩陣的行列式相同
n階矩陣a與對角矩陣相似的充要條件 p185 矩陣a有n個線性無關的特徵向量，注意是特徵向量而不是特徵值，因為乙個特徵值可能包含不止乙個特徵向量
n階矩陣a與對角矩陣相似的充要條件 p188 對於每乙個s重特徵根q，矩陣qi-a的值是n－s
約當塊的定義 p189 乙個重要性質：不是所有的n階矩陣a都可以與對角矩陣相似，但是所有的n階矩陣a一定都可以某個約當矩陣相似。
約當形矩陣（約當標準形）的定義 p189 注意對角矩陣可以看成是都為一階的約當標準形
這裡要補充乙個概念，什麼叫相抵矩陣，它與相似矩陣的異同？
a和b相似的定義：存在可逆矩陣p使得b=pap^(-1)；a和b相抵的定義：存在可逆矩陣p,q使得b=paq。設a和b相似，則由p可逆可知p^(-1)也可逆，取q=p^(-1)，即得a和b相抵
由定義可以看出，相抵的定義已經包含了相似的定義，即可將相似矩陣理解為相抵矩陣的特殊情況。
定義與性質：
n階行列式特點：行數與列數相等；表示所有可能取自不同的行不同的列的n個元素乘積的代數和，是乙個確定的數；它有個n×n元素；n階行列式展開後有n階乘的項。
n階矩陣定義：如果矩陣的行數與列數都等於n，則稱a為n階矩陣。
性質：行與列互換，值不變；
交換行列式的兩行或者兩列，行列式的值變號；
用數k乘以行列式的某一行（列），等於以數k乘以此行列式；（這一點與矩陣不同）
行列式按行（列）展開：任意一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積的和。
克萊姆法則
克萊姆法則討論的是含有n個方程n個未知量的線性方程組的解（含有n個方程的n元線性方程組）。
線性方程組的係數構成的行列式稱為方程組的係數行列式。
法則內容：當其係數行列式d不等於0時，有且僅有唯一解。
如果上述線性方程組的常數項為0，則稱上述線性方程組為齊次線性方程組。
因此，如果齊次線性方程組的係數行列式d不等於0，則它僅有零解。
或者說，齊次線性方程組有非零解（且解不唯一），則d＝0；反之也成立，兩者互為充分條件。
由此可見，克萊姆法則討論的基礎是行列式，它是線性方程組的係數構成的行列式。
克萊姆法則是從行列式的角度來討論含有n個方程的n元線性方程組的解。而當我們學習了矩陣以後，就可以從矩陣的角度來討論更為一般的線性方程組的解（m個方程n元，即方程的個數m與未知量的個數n可能相等，也可能不相等）。
克萊姆法則討論的是含有n個方程的n元線性方程組解的情況，即方程個數等於未知元個數。
而對於一般的線性方程組（m個方程、n元未知量）是不適用的，僅當m＝n時，才可用克萊姆法則來討論其解的情況。對於一般線性方程組的解的情況必須借助於矩陣的秩這一工具。
m與n的關係對解的影響？
1、當m>n時，則可能存在無解、唯一解、多解三種情況。
2、當m＝n時，則可能存在無解、唯一解、多解三種情況。
3、當m結論：由此可見，m與n之間的關係對解的情況是沒有影響的。關鍵要看其增廣矩陣的秩和係數矩陣的秩。
解的分類：
1、無解
2、有解
2.1 唯一解
2.1.1 零解
2.1.2 非零解
2.2 多解
矩陣秩＝矩陣行秩＝矩陣列秩＝其非零子式的最高端數
線性代數學習筆記
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