前置芝士： 序列逆序對個數 \(\tau (a_1a_2a_3 \cdots a_n) \displaystyle \sum^_\)
性質1: 交換序列中相鄰的兩個數會改變原序列逆序對個數的奇偶性
性質2: 交換序列中不相鄰的兩個數也會改變原序列逆序對個數的奇偶性
證明:$ a_1...a_i...a_j...a_n 不斷將ai與它右邊的數字交換直至正好換到a_j 即a_1...a_ja_i...a_n 此時共交換了j - i 次$
再將\(a_j\) 向左與相鄰數字交換j - i - 1次到原來\(a_i\)所在位置 ,此時共交換2 * (j - i) - 1次,為奇數次,所以奇偶性改變
行列式正式登場:定義: \(\begin
a_ & a_ & \cdots &a_ \\
a_ & a_ & \cdots &a_ \\
\vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
a_ & a_ & \cdots &a_ \\
\end\) = \((-1)^ a_\cdots a_)}\)
\(\displaystyle \pi ^ _ a_ (j_i\) 互不相同)
性質1: 行列互換, 行列式的值不變
性質2: 交換行列式的兩行或兩列,行列式的符號改變
性質3: 行列式的某一行所有元素乘以乙個數k等於用數k乘以此行列式
性質4: 若行列式的某一列(行)的元素都是兩數之和 , 如:
\[\begin
a_ & a_ & \cdots &a_ + a^_ & \cdots &a_ \\
a_ & a_ & \cdots &a_ + a^_ & \cdots &a_ \\
\vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\
a_ & a_ & \cdots &a_ + a^_ & \cdots &a_ \\
\end
\]則d等於下列兩個行列式的和:
d = \(\begin
a_ & a_ & \cdots &a_ & \cdots &a_ \\
a_ & a_ & \cdots &a_ & \cdots &a_ \\
\vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\
a_ & a_ & \cdots &a_& \cdots &a_ \\
\end\) + \(\begin
a_ & a_ & \cdots &a^_ & \cdots &a_ \\
a_ & a_ & \cdots & a^_ & \cdots &a_ \\
\vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\
a_ & a_ & \cdots &a^_ & \cdots &a_ \\
\end\)
性質5: 把行列式的某一行(列)的元素乘以同乙個數後加到另一行(列)的對應元素上,行列式不變
\[\begin
a_ & a_ & \cdots &a_ \\
a_ & a_ & \cdots &a_ \\
\vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
a_ & a_ & \cdots &a_ \\
\end
\]在n階行列式d中劃去任意選定的k行、k列後，餘下的元素按原來順序組成的n-k階行列式m，稱為行列式d的k階子式a的余子式
\[l_=
\begin
\deg(v_i), &\text\\[2ex]
-1, &\text\\[2ex]
0, &\text
\end
\]求出它任意乙個代數余子式的值即為它生成樹的數量
線性代數學習筆記
因為博主太菜了所以需要寫筆記來加深理解。感謝隊爺 cly 對我的耐心指導。to 矩陣其實可以看成若干向量。關於這部分，引入一些奇怪的知識 說奇怪是因為我目前沒有用到過 hehezhou 給了我又一種理解矩陣乘法的方式。矩陣中的元素 a 表示從點 i 到點 j 的方案數。若是從這個角度的話就可以快速地...
線性代數學習筆記（七）
證明分兩步 與高斯消元法相比，公式法的優缺點 x的每個分量 x i 是兩個行列式的商 克拉默法則解方程組的代價比較大，需要解n 1個行列式，而解行列式是非常expensive的，因此也只有公式的價值，不能用其作為程式設計計算方法。書中是先得到cramer法則，再得到逆矩陣公式，求cramer法則的方...
線性代數學習筆記（六）
只有正方形的矩陣有行列式！行列式的應用概括來有三 性質1,2,3是basic properties，用這三條性質可以計算任意乙個矩陣的行列式 a 性質1和2一起就可以推導出permutation matrix的行列式了 線性變換 數乘，加減 這很像長方形的邊與面積的關係 長 第一行 2，寬 第二行 ...