0x01 行列式的計算
某行(列)加上或減去另一行(列)的幾倍，行列式不變。
行(列)乘k，等於k乘此行列式。
互換兩行(列)，行列式變號。
0x02 計算的題型和套路
只有兩個數字, 對角線是乙個: 套公式 (x−
a)n−
1[x+
(n−1
)a](
x−a)
n−1[
x+(n
−1)a
]x0,
x1,x
2…xn
−1=(
xn−x
n−1)
(xn−
xn−2
)…(x
n−x1
)∗(x
n−1−
xn−2
)…∗(
xn−1
−x1)
∗...
x0,x
1,x2
…xn−
1=(x
n−x
n−1
)(xn
−xn
−2)
…(xn
−x1
)∗(
xn−1
−xn
−2)
…∗(
xn−1
−x1
)∗.
..兩行(列)相同或成比例時, 行列式為0。以及某行(列)為兩項相加減時，行列式可拆成兩個行列式相加減。
求余子式m和代數余子式a(要乘以-1的行加列次方)d=
ai1a
i1+a
i2ai
2+…+
aina
in(第
i行)d
=ai1
ai1
+ai
2ai
2+…
+ain
ain
(第i
行)多個a或m相加減: 把m換成a, 找到對應a的位置, 用係數替換, 計算行列式。
給一組方程組，判斷解的情況： 計算係數組成的行列式
方程組d!=0
d==0
其次只有一組零解
有零解與非零解
非其次只有一組非零解
有多個解或無解
0x03 矩陣運算上
矩陣加減
矩陣相乘，前行乘後列
零矩陣，全為零的矩陣。 任何矩陣乘零矩陣都是0。
e矩陣，對角線為1其餘全為0。任何矩陣乘e矩陣都是本身。e*e=e。
ab與ba未必相等。矩陣相乘有順序。
ax=ay不能推出x=y。矩陣沒有除法。(a
b)k!
=akb
k(ab
)k!=
akbk
。這個不能展開。a2
+2ab
+b2不
能合併成
(a+b
)2a2
+2ab
+b2不
能合併成
(a+b
)2，十字相乘同理。如果b為e則該條成立。
矩陣取絕對值。矩陣變成行列式。。。以及∣λa
∣=λn
∣a∣∣
λa∣=
λn∣a
∣0x04 矩陣運算下
矩陣轉置。先用行乘列+(ab
)t=b
tat(
ab)t
=bta
t + ∣at
=a∣∣
at=a
∣證明矩陣可逆。為方正(行列數相同)+|a|!=0(或者存在b使得ab=e或ba=e)
求逆矩陣，把(a:e)變成(e:b),則b就是a的逆矩陣。
利用a∗a−
1=ea
∗a−1
=e來計算a的伴隨矩陣a∗a
=∣a∣
ea∗a
=∣a∣
e或aa∗
=∣a∣
eaa∗
=∣a∣
e求矩陣的秩即r(a),進行行變換，使下行左端的0比上行多，直到下面全為0為止
已知秩，求未知數：不管未知數先變成0。
0x05 向量組與線性空間
某向量是否可由其他向量表示：a=(
a1,a
2,a3
),b=
(a1,
a2,a
3,b)
,ifr
(a)=
=r(b
)ok,
else
noto
ka=(
a1,
a2,
a3)
,b=(
a1,
a2,
a3,
b),i
fr(a
)==r
(b)o
k,el
seno
tok某向量組是否線性相關：若r(a)《向量個數則線性相關，若r(a)=向量個數則無關。a=(
a1,a
2,a3
,a4)
a=(a
1,a
2,a
3,a
4)。 存在一組可由其他向量表 示的。
已知一組基底，求某一向量在此下的座標。待定係數法設方程並帶入。
求行向量的極大無關組。先編號，然後求秩(若交換兩行則編號也要交換)，最後取秩的個數個編號為答案。
0x06 解方程組
判斷方程組有無解
解方程組
求方程組通解，特解，基礎解系。
已知某方程組的特解，求某其次方程組的通解
已知某方程組的特解，求某其非齊次方程組的通解
集合中線性無關的解向量個數
0x07 方正對角化及應用
規範正交化
求矩陣特徵值：滿足∣a−
λe∣=
0∣a−
λe∣=
0的λλ即為特徵值
求矩陣特徵向量：(a-λ
λe)x=0的通解
方陣與對角線相似或p−1
ap=a
p−1a
p=a：方陣向量個數等於方陣階數
求方陣的對角陣a和可逆變換矩陣p
求方陣的複雜式子。
0x08 二次型
對應的係數矩陣，套公式
化成標準型
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