最近入坑機器學習，線性代數的知識用到很多，所以就回顧了一下，發現也是挺有意思的。
行列式對於方陣給出乙個特殊的定義值，與方陣的秩和方陣對應的齊次線性方程有沒有唯一非零解有著很大的關係。
定義當n≥2
n\geq2
n≥2時，n×n
n\times n
n×n矩陣a=[
aij]
a=\begina_ \end
a=[aij
]的行列式是形如±ai
jdet
ai
j\pm a_ deta_
±aijd
etai
j的n個項的和，其中加減號交替出現，這裡的a11,
a12,a
13...
a1
na_,a_,a_...a_
a11,a
12,
a13
...a
1n來自於第一行，即
d et
a=a11
⋅det
a11−a
12⋅de
ta12+
⋯+(−
1)1+
na1n
deta
1n=∑
j=1n
(−1)
1+ja
1jde
ta1j
\begin deta&=a_\cdot deta_-a_\cdot deta_+\cdots +(-1)^a_deta_\\ &=\sum_^(-1)^a_deta_\\ \end
deta=
a11
⋅det
a11
−a12
⋅de
ta12
+⋯+
(−1)
1+na
1nd
eta1
n=j
=1∑n
(−1
)1+j
a1j
deta
1j
當然這是針對第一行展開的，從中可以看出n×n
n\times n
n×n階的行列式被展開成若干個(n−
1)×(
n−1)
(n-1)\times(n-1)
(n−1)×
(n−1
)階的行列式。det
a1
jdeta_
deta1j
稱為代數余子式，是劃掉行列式a的第1
11行第j
jj列後餘下行列式的值，也可以對第i
ii行進行展開，1
11替換成i
ii即可。同樣地，也可以對某一列進行展開。
定理若a
aa為三角陣，則det
adeta
deta
為主對角線上元素乘積。這裡的三角陣僅考慮行列式主對角線上邊或下邊元素全為零的情況。
行變換性質。令a
aa是乙個方陣，則有
實際上，列變換也具有這些性質
通過行列式的行變換，可以將乙個複雜的行列式化簡成三角型，如果化成階梯型後不是三角型，則說明行列式值為0。
當且僅當det
a≠
0deta\neq 0
deta̸
=0時方陣a
aa是可逆的
若a
aa為乙個n×n
n\times n
n×n矩陣，則det
at=d
et
adeta^t=deta
detat=
deta
乘法性質。det
(ab)
=(de
ta)(
detb
)det(ab)=(deta)(detb)
det(ab
)=(d
eta)
(det
b)
線性方程組的解集問題
非齊次線性方程的解集
克拉默法則
克拉默法則是用來求解係數矩陣為方陣且可逆的非齊次線性方程組的唯一解的定理。首先定義乙個替換矩陣，對於任意n×n
n\times n
n×n矩陣a
aa和任意r
n\mathbb}
rn中向量b
\textbf b
b，令ai(
b)
\bm
ai(b)
表示a
\bm a
a中第i列由向量b
\bm b
b替換得到的矩陣。即
a i(
b)=[
a1⋯b
⋯an]
\bm =}\begin \bm & \cdots &\bm &\cdots &\bm \end
ai(b)
=[a1
⋯
b⋯
an
]接下來正式說明一下什麼是克拉默法則
設a
\bm a
a是乙個可逆的n×n
n\times n
n×n矩陣，對任意r
n\mathbb}
rn中向量b
\bm b
b，方程ax=
b\bm
ax=b
的唯一解可由下式給出，
x i=
deta
ibde
ta,i
=1,2
⋯n
\bm ,i=1,2\cdots n}
xi=de
tade
tai
b,i
=1,2
⋯nd et
a≠
0deta\neq 0
deta̸
=0再加上n×n
n\times n
n×n方陣的條件可以說明r係數
矩陣=r
增廣矩陣
=n
r_=r_=n
r係數矩陣
=r增廣
矩陣=
n
數學 線性代數 行列式
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線性代數 行列式1
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