更新：25 apr 2016
設函式\(f(t)\)在\(t>0\)時有定義，積分
\(f(s)=\int_0^f(t)e^dt \qquad (s\in \mathbb)\)
若在s的某一域內收斂，則稱此對映為laplace變換，記為
\(f(s)=\mathscr[f(t)],\qquad f(t)=\mathscr^[f(s)]\)
實際上，\(f(t)\)的laplace變換就是\(f(t)u(t)e^ (\beta>0)\)取fourier變換。
1. 線性
2. 微分性
\(\mathscr[f』(t)]=s\mathscr[f(t)]-f(0)\)
\(\mathscr[f^(t)]=s^n\mathscr[f(t)]-s^f(0)-s^f』(0)-\cdots-f^(0)\)
3. 積分性
\(\mathscr\left[\int_0^tf(t)dt\right]=\dfrac\mathscr[f(t)]\)
4. 位移性質
5. 延遲性質
6. 相似性質
7. 初值定理
8. 終值定理
利用fourier變換可以得出
\(f(t)=\dfrac}\int_\omega}^\omega}f(s)e^ds, t>0\)
積分成為laplace反演積分。求此反演積分可以使用留數來計算：
若\(s_1, s_2, …, s_n\)是函式\(f(s)\)的所有奇點，且當\(s \rightarrow \infty\)時\(f(s) \rightarrow 0\)，則
\(f(t)=\dfrac}\int_\omega}^\omega}f(s)e^ds=\sum\limits_^\underset}[f(s)e^]\)
求laplace變換的方法-留數
利用Matlab求解Laplace方程
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