問題描述
今日碰到一道差分方程的題目，如下 [
y(n + 2) - cfracy(n + 1) + cfracy(n) = 7x(n+2) -2 x(n + 1)
] 已知(x(n) = left(cfracright)^n u(n) , y(0) = 2, y(1) = 4)，求全響應。
一般求解這種題目的思路很清晰，首先根據特徵方程求出特徵根，從而得出零輸入解的形式，但是這個時候給的條件是(y(0))和(y(1))，而不是(y_(0))和(y_(1))，這意味著此時我們不能直接得出零輸入解的係數。這個時候我們可以求出系統的零狀態響應，然後可以得出(y_(0))和(y_(1))，然後根據(y_(0) = y(0) - y_(0))，(y_(1) = y(1) - y_(1))，然後得出零輸入響應的係數，然後將零輸入響應和零狀態響應相加得到全響應。
上面的思路很清晰，但是卻是有點麻煩，我們可以根據 [
begin
z &= z^2(y(z) - y(0) - y(1)z^) \
z &= z(y(z) - y(0))
end] 對上面同時進行(z)變換 [
z^2(y(z) - y(0) - y(1)z^) - cfracz(y(z) - y(0)) + cfracy(z) = 7z^2x(z) - 2zx(z)
] 上面的式子是我在答案(不一定正確的答案)上看到的，但是你沒有發現有沒有一絲絲的不對，怎麼 [
z = z^2x(z) neq z^2(x(z) - x(0) - x(1)z^)
] 那麼問題來了，哪種是對的呢?
我認為(z = z^2(x(z) - x(0) - x(1)z^))是對的。但是我們經常見到好像是(z = z^2x(z))的形式，這是怎麼回事，這是因為在課本上我們見到的都是(y(n - n_0), x(n - n_0))這種後向差分的形式，因為這時做(z)變換與(x(-n_0))有關，而(x(n) = 0 , n < 0)，所以後面就沒有長長的"尾巴"。我們將上面的差分方程改寫為 [
y(n) - cfracy(n - 1) + cfracy(n - 2) = 7x(n) -2 x(n - 1)
] 然後對兩邊進行(z)變換得到 [
y(z) - cfracz^(y(z) + y(-1)z) + cfracz^(y(z) + y(-1)z + y(-2)z^2) = 7x(z) - 2z^x(z)
] 因為(x(-1) = x(-2) = 0)，所以後面就沒有"尾巴"，然後兩邊同時乘以(z^2)得到
z^2y(z) - cfracz(y(z) + y(-1)z) + cfrac(y(z) + y(-1)z + y(-2)z^2) = 7z^2x(z) - 2zx(z)
求證想法
為了驗證我的說法，這裡使用最前面提到的方法(分別求零輸入和零狀態)和上面我的想法求解，看看答案是否一致，如果一致的話，說明我的想法是正確的。
解法一：
由特徵方程 [
r^2 - cfracr + cfrac = (r - cfrac)(r - cfrac) = 0 rightarrow r = cfrac,cfrac
於是設零輸入響應的解為 [
y_(n) = c_1 left( cfrac right)^nu(n) + c_2 left( cfrac right)^nu(n)
由差分方程知 [
h(z) = cfrac)(z - cfrac)}
又 [x(z) = cfrac}
故 [y(z) = h(z)x(z) = cfrac)^2(z - cfrac)} = cfrac cfrac)^2} + cfraccfrac} - cfrac cfrac}
則 [y_(n) = 5nleft( cfrac right)^nu(n) + cfracleft( cfrac right)^nu(n) - cfracleft( cfrac right)^nu(n)
則 [begin
y_(0) &= c_1 + c_2 &= y(0) - y_(0) &= -5 \
y_(1) &= cfracc_1 + cfracc_2 &= y(1) - y_(1) & = -cfrac
end得到 [
c_1 = -cfrac \
c_2 = -cfrac
則 [y_(n) = -cfrac left( cfrac right)^nu(n) -cfrac left( cfrac right)^nu(n)
解法二： [
y(n + 2) - cfracy(n + 1) + cfracy(n) = 7x(n+2) -2 x(n + 1)
兩邊同時求(z)變換 [
z^2(y(z) - y(0) - y(1)z^) - cfracz(y(z) - y(0)) + cfracy(z) = 7z^2(x(z) - x(0) - x(1)z^) - 2z(x(z) - x(0))
得到 [
y(z) = cfrac y(0) - 7x(1) + 2x(0))z})(z - cfrac)} + h(z)x(z)
可知 [
y_(z) = cfrac y(0) - 7x(1) + 2x(0))z})(z - cfrac)} = cfracz})(z - cfrac)} = -cfraccfrac} - cfraccfrac}
所以 [
y_(n) = -cfrac left( cfrac right)^nu(n) -cfrac left( cfrac right)^nu(n)
同第一種解法一樣，所以我的想法是正確的(小聲bb答案錯了)。
總結其實根據題目給的初始條件不同，我們的解法也不相同，這裡總結一下如果給出不同的初始條件應當採取什麼解法(以二階為例)：
給出(y(0), y(1))，就是我上面提到的情況，有兩種方法
分別求零輸入響應和零狀態響應，此時零輸入響應的係數需要求出零狀態響應後才能知道
直接進行(z)變換
給出(y_(0), y_(1))，同樣也有兩種方法，不過與上面有所不同(實際上是簡單了)
分別求零輸入響應和零狀態響應，此時由於直接給出了(y_(0), y_(1))，所以可以直接求出零輸入響應的係數
直接進行(z)變換，此時的形式與上面又有所不同，這時不是
z^2(y(z) - y(0) - y(1)z^) - cfracz(y(z) - y(0)) + cfracy(z) = 7z^2(x(z) - x(0) - x(1)z^) - 2z(x(z) - x(0))
而是 [
z^2(y(z) - y_(0) - y_(1)z^) - cfracz(y(z) - y_(0)) + cfracy(z) = 7z^2x(z) - 2zx(z)
給出(y(-2), y(-1))，同樣兩種解法，因為(y_(-2) = y_(-1) = 0)，所以(y_(-2) = y(-2), y_(-1) = y(-1))，這時同第二種情況是一樣的了
分別求零輸入響應和零狀態響應，過程同第二種情況一樣
直接進行(z)變換，此時的形式為 [
y(z) - cfracz^(y(z) + y(-1)z) + cfracz^(y(z) + y(-1)z + y(-2)z^2) = 7x(z) - 2z^x(z)
給出(y(-1), y(0))，這時我們可以將值代入方程迭代處(y(1))從而轉變為第一種情況，或者迭代出(y(-2))轉變為第三種情況。鑑於求解的複雜性，最好迭代出(y(-2))
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