z變換與傅利葉變換
在數字訊號處理中，z變換是一種非常重要的分析工具。但在通常的應用中，我們往往只需要分析訊號或系統的頻率響應，也即是說通常只需要進行傅利葉變換即可。那麼，為什麼還要引進z變換呢？z變換和傅利葉變換之間有存在什麼樣的關係呢？
傅利葉變換的物理意義非常清晰：將通常在時域表示的訊號，分解為多個正弦訊號的疊加。每個正弦訊號用幅度、頻率、相位就可以完全表徵。傅利葉變換之後的訊號通常稱為頻譜，頻譜包括幅度譜和相位譜，分別表示幅度隨頻率的分布及相位隨頻率的分布。在自然界，頻率是有明確的物理意義的，比如說聲音頻號，男同胞聲音低沉雄渾，這主要是因為男聲中低頻分量更多；女同胞多高亢清脆，這主要是因為女聲中高頻分量更多。對乙個訊號來說，就包含的資訊量來講，時域訊號及其相應的傅利葉變換之後的訊號是完全一樣的。那傅利葉變換有什麼作用呢？因為有的訊號主要在時域表現其特性，如電容充放電的過程；而有的訊號則主要在頻域表現其特性，如機械的振動，人類的語音等。若訊號的特徵主要在頻域表示的話，則相應的時域訊號看起來可能雜亂無章，但在頻域則解讀非常方便。在實際中，當我們採集到一段訊號之後，在沒有任何先驗資訊的情況下，直覺是試圖在時域能發現一些特徵，如果在時域無所發現的話，很自然地將訊號轉換到頻域再看看能有什麼特徵。訊號的時域描述與頻域描述，就像一枚硬幣的兩面，看起來雖然有所不同，但實際上都是同乙個東西。正因為如此，在通常的訊號與系統的分析過程中，我們非常關心傅利葉變換。
既然人們只關心訊號的頻域表示，那麼z變換又是怎麼回事呢？要說到z變換，可能還要先追溯到拉普拉斯變換。拉普拉斯變換是以法國數學家拉普拉斯命名的一種變換方法，主要是針對連續訊號的分析。拉普拉斯和傅利葉都是同時代的人，他們所處的時代在法國是處於拿破崙時代，國力鼎盛。在科學上也取代英國成為當時世界的中心，在當時眾多的科學大師中，拉普拉斯、拉格朗日、傅利葉就是他們中間最為璀璨的三顆星。傅利葉關於訊號可以分解為正弦訊號疊加的**，其評審人即包括拉普拉斯和拉格朗日。
回到正題，傅利葉變換雖然好用，而且物理意義明確，但有乙個最大的問題是其存在的條件比較苛刻，比如時域內絕對可積的訊號才可能存在傅利葉變換。拉普拉斯變換可以說是推廣了這以概念。在自然界，指數訊號exp(-x)是衰減最快的訊號之一，對訊號乘上指數訊號之後，很容易滿足絕對可積的條件。因此將原始訊號乘上指數訊號之後一般都能滿足傅利葉變換的條件，這種變換就是拉普拉斯變換。這種變換能將微分方程轉化為代數方程，在18世紀計算機還遠未發明的時候，意義非常重大。從上面的分析可以看出，傅利葉變換可以看做是拉普拉斯的一種特殊形式，即所乘的指數訊號為exp(0)。也即是說拉普拉斯變換是傅利葉變換的推廣，是一種更普遍的表達形式。在進行訊號和系統的分析過程中，可以先得到拉普拉斯變換這種更普遍的結果，然後再得到傅利葉變換這種特殊的結果。這種由普遍到特殊的解決辦法，已經證明在連續訊號與系統的分析中能夠帶來很大的方便。
z變換可以說是針對離散訊號和系統的拉普拉斯變換，由此我們就很容易理解z變換的重要性，也很容易理解z變換和傅利葉變換之間的關係。z變換中的z平面與拉普拉斯中的s平面存在對映的關係，z=exp(ts)。在z變換中，單位圓上的結果即對應傅利葉變換的結果。
傅利葉變換 拉普拉斯變換 Z變換
在自然界，指數訊號ex是衰減最快的訊號之一，對訊號乘上指數訊號之後，很容易滿足絕對可積的條件。傅利葉變換雖然好用，而且物理意義明確，但有乙個最大的問題是其存在的條件比較苛刻，比如時域內絕對可積的訊號才可能存在傅利葉變換。因此將原始訊號乘上指數訊號之後一般都能滿足傅利葉變換的條件，這種變換就是拉普拉斯...
DFT與傅利葉變換和Z變換的關係
dft是傅利葉變換的離散形式，也即將x t 進行傅利葉變換後進行離散取樣得的函式x jw 傅利葉變換僅僅是抄對其進行e jwt 的變換操作，而拉普拉斯變換則是對e st 的操作，兩者不同在於傅利葉變換是拉普拉斯變換的特殊情況，是對純虛數變換的情況 z變換是離散時間傅利葉變換 dtft 的一種拓展形式...
傅利葉變換與快速傅利葉變換
作為電子資訊專業的學生老說，這個不知道，或者理解不清楚，是十分不應該的，作為乙個學渣，有時候確實是理解不清楚的 1 首先離散傅利葉變換目的 簡單點說 就是將乙個訊號從時域變換到頻域 標準點說 將以時間為自變數的訊號 與 頻率為自變數的頻譜函式之間的某種關係變換 數學描述 對於 n點序列 其中自然對數...