用數數辦法求解：oo
oooo。。。n個ooo
ooo。。。n個o
ooo。。。n個o
。。。n個o
f(n)=1+2+3+...+n
+2+3+...+n
+3+...+n
...+n
=n(n+1)/2+(n-1)(n+2)/2+(n-2)(n+3)/2+...+(n-(n-1))*(n+n)/2
=n(n+1)/2+n(n+1)/2-1*2/2 +n(n+1)/2-2*3/2+...+n(n+1)/2-(n-1)*n/2
=n(n+1)*n/2-(1*2+2*3+...+(n-1)*n)/2
=n(n+1)*n/2-(y)/2=x
從數數的o圖上可知，y/2為左下角o的數量，x為右上角o的數量
x-y=1+2+3+...+n=n(n+1)/2
所以：x=n(n+1)(2n+1)/6
y=(1*2+2*3+...+(n-1)*n)
=(n-1)n(n+1)/3
也可以先推出y：(與x的推導類似)
左下角o的數量(按列相加)：
y/2=（n-1)*1+(n-2)*2+..+(n-(n-1))*(n-1)
=（n-1)*1+(n-1)*2-1*2+..+(n-1))*(n-1)-(n-2)*(n-1)
=(n-1)(n-1)*n/2-(1*2+..+(n-2)*(n-1))
=(n-1)(n-1)*n/2-(y
-(n-1)*n)
所以y=(1*2+2*3+...+(n-1)*n)
=(n-1)n(n+1)/3
構造冪函式法求解
由f(n)=n(n+1)/2+(n-1)(n+2)/2+(n-2)(n+3)/2+...+(n-(n-1))*(n+n)/2
知f(n)是由n個關於n的2次冪函式線性組成，設
f(n)=a*n^3+b*n^2+c*n+d是關於[a;b;c;d]的線性方程，取n=1、2、3、4；解線性方程組可得解。
最經典解法
由（n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1得到
（n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
兩邊從n=1、2、3到n；n項組合相加即可得結果。
連續自然數的平方和
description 我們大家都知道勾股定理 32 42 5 23 2 4 2 5 2 32 42 52,其中3,4,5是連續的自然數 同時，連續自然數10,11,12,13,14之間也有關係式 102 112 122 132 142 10 2 11 2 12 2 13 2 14 2 102 11...
連續自然數平方和
22.連續自然數平方和 描述 提交自定義測試 題目描述 給你乙個數x，詢問有多少種連續自然數的平方和等於這個數，按照起始自然數由小到大的順序，輸出所有可能。輸入描述 輸入有多組，每組一行，乙個數x 輸出描述 對於每組資料，輸出多行 第一行，乙個數表示有多少種可能 以下每行輸出一種 第乙個數a是連續多...
歸納策略 求前n個自然數的平方之和
求前n個自然數的平方之和 s 1 2 2 2 3 2 n 2 因為 1 2 2 2 3 2 n2 1 2 3 n 2n 1 3 又由於 1 2 3 n n n 1 2，因此得到 1 2 2 2 3 2 n 2 n n 1 2n 1 6 推導過程 有乙個三角形的數字矩陣 12 2 3 3 3 4 4 ...