今天demon分析了一下之前的組隊賽，覺得有些心得：
我們這次比賽沒有關注檔案讀寫問題，導致我們一直糾結於提交出錯的情況，請你大家在比賽之前了解檔案讀寫的相關規定：是標準輸入輸出，還是檔案輸入輸出？如果是檔案輸入輸出，是否禁止用重定向方式訪問檔案？
program (重定向版)
#define local
...int main()
#include int main()
問題1：兔子的繁殖。把雌雄各一的一對新兔子放入養殖場中。每對兔子從第二個月開始每月產雌雄各一的一對新兔子。試問第n個月後養殖場中共有多少對兔子？
分析：第n個月的兔子由兩部分組成，一部分是上個月就有的老兔子，一部分是剛出生的新兔子。前一部分等於f(n-1)，後一部分等於f(n-2) (第n-1個月時具有生育能力的兔子數等於第n-2個月的兔子總數)。根據加法原理，f(n)=f(n-1)+f(n-2),邊界是f(1)=f(2)=1。
數列為1,1,2,3,5,8,...,稱為斐波那契(fibonacci)數列。
問題2：凸多邊形的三角剖分數。給出乙個凸n邊形，用n-3條不相交的對角線把它分成n-2個三角形，求不同的方法數目。例如n=5時，有5中剖分方法。
分析：設答案為f(n)。按照某種順序給凸多邊形的各個定點分別編號為v1,v2,...,vn。既然分成的是三角形，邊v1vn在最終的剖分中一定恰好屬於某個三角形v1vnvk，所以可以根據k進行分類。不難看出，三角形v1vnvk的左邊是乙個k邊形，右邊是乙個n-k+1邊形，根據乘法原理（參照奮鬥的demon——基本計數原理（理論）),包含三角形v1vnvk的方案數為f(k)f(n-k+1);根據加法原理有：f(n)=f(2)f(n-1)+f(3)f(n-2)+...+f(n-1)f(2),邊界是f(2)=f(3)=1。
從第三項開始的數列：1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,...,稱為卡特蘭數（catalan）。
1 通項公式：h(n)=c(n,2n)/(n+1)=(2n)!/((n!)*(n+1)!)
2遞推公式:h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1); h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0).
3前幾項為：h(0)=1,h(1)=1,h(2)=2,h(3)=5,h(4)=14,h(5)=42,......
4應用場景：
a.括號化問題。
矩陣鏈乘： p=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？(h(n)種)
b.出棧次序問題。
乙個棧(無窮大)的進棧序列為1,2,3,..n,有多少個不同的出棧序列?
類似：(1)有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人
買 票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)
(2)在圓上選擇2n個點,將這些點成對連線起來，使得所得到的n條線段不相交的方法數。
c.將多邊行劃分為三角形問題。
(1)將乙個凸多邊形區域分成三角形區域的方法數?
(2)類似：一位大城市的律師在她住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果她從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那 麼有多少條可能的道路？
(3)類似：在圓上選擇2n個點,將這些點成對連線起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?
d.給頂節點組成二叉樹的問題。
給定n個節點，能構成多少種形狀不同的二叉樹？
(一定是二叉樹!先去乙個點作為頂點,然後左邊依次可以取0至n-1個相對應的,右邊是n-1到0個,兩兩配對相乘,就是
h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + + h(n-1)h(0)=h(n))（能構成h（n）個）。
問題3：用n(1≤n≤2000)根火柴棍能組成多少個非負整數？火柴不必用完，組成的整數不能有前導零（但整數0是允許的）。例如，假如有三根火柴，可以組成1或者7，假如有四根火柴，除了1和7以外，還可以組成4和11。
我們也不難知道數字0-9的火柴數：1(2),2(5),3(5),4(4),5(5),6(6),7(3),8(7),9(6),0(6)。
分析：把已經用過視為火柴數i看成乙個狀態，額可以得到乙個圖。
火柴數可能數字01
2137
4452，3，5
66，978
火柴數可能數字
x+0x+1
x+21
x+37
x+44
x+52，3，5
x+60，6，9
x+78
從前往後每新增乙個x，就從狀態i+c[i]，其中c[x]代表數字x需要的火柴數。當i=0的時候不允許使用數字0。從結點0和x出發。
令d(i)為從結點0到結點i的路徑條數，而且火柴不必用完，則答案f(n)=d(1)+d(2)+d(3)+...+d(n)。
memset(d,0,sizeof(d));//d[i]為恰好用i根火柴可以i組成的正整數（不含0）
d[0] = 1;
for(int i=0;i<=maxn;i++)
for(int j=0;j<10;j++)
if(!(i==0&&j==0) && i+c[j]<=maxn) d[i+c[j]]+=d[i];//i=j=0時不允許轉移
例如：21有2種寫法。77有22種寫法，9999有440022018293種寫法。
分析：建立多段圖。結點(i,j)表示「使用不超過i的整數的立方，累加和為j」這個狀態，設d(i,j)為從(0,0)到(i,j)的路徑條數，則最終答案為d(21,n)。
這個多段圖的特點時每個結點一步只能走到下一階段的結點，因此我們可以乙個乙個階段的計算。
memset(d,0,sizeof(d));
d[0][0] = 1;
for(int i=0;i<=maxn;i++)
for(int j=0;j對於第i個數字而言，我們可以這樣分析：如果我們取一次第i個數字得到d(i,j)那麼可以知道這是從狀態d(i,j-i^3)轉化得到；當我們不取第i個數字得到d(i,j)那麼可以知道這是從狀態d(i-1,j)轉化得到。那麼我們便可以得到遞推公式:d(i,j)=d(i-1,j)+d(i,j-i^3)（如果大家想說我們如果需要用多個i^3怎麼辦？是不是這個公式不在成立呢？仔細想想還是成立的，因為我們如果再往下遞推一層或者多層我們便可以使用多次i^3，那麼我們便可以把**寫成如下形式：時間複雜度僅僅是o(n^2），而且我們可以用滾動陣列節約儲存空間。
感覺一下這個方法和上面的演算法的對比。
#include#include#include#includeusing namespace std;
#define maxn 22*22*22
long long dp[maxn];
int main()
{ int n;
memset(dp,0,sizeof(dp));
long long c[22];
for(int i=1;i<22;i++)
c[i]=i*i*i;
dp[0]=1;
for(int i=1;i<22;i++)
for(int j=c[i];j>n)
{cout《問題5：村民排隊。村子裡現在有n(1≤n≤40000)個人，有多少種方式可以把他們排成一列，使得沒有人排在他父親的前面（有些人的父親可能不在村子裡）?輸入n和每個人的父親編號（村里的人編號為1~n），輸出方案總數除以1000000007的餘數。
分析
8 1遞推關係的運用
思路 用fn f n表示n個月後的兔子對數。轉化思想 當n 3的時候，fnfn 等於前乙個月的對數fn 1f n 1加上新出生的兔子 fn 2f n 2 f n f n f n 1 fn 1 f n 2 fn 2思路 用fn f n表示解n個盤子的漢諾塔問題所需要的移動次數。轉化思想 我們可以先用f...
理論與問題的關係
先回想一下現在數學系教科書的過程，首先介紹基本概念，其次開始提出一些公理，接著是定理的推導，以及各種結論。從頭看到尾，酣暢淋漓。但是這不是 乙個問題的方法。這些給的只是乙個巨人的肩膀。有了巨人的肩膀，我們不一定會站立，更不用說成為另外乙個巨人。我們站立的根基是前人研究的理論，但是更多時候是需要我們構...
求解分治演算法的遞推關係
相關概念 分治遞推關係 如果f n f n 表示求解規模為nn的問題所需的雲算數，則ff滿足遞推關係 f n af n b g n f n af n b g n 相關定理 定理1 設ff是滿足遞推關係 f n af n b c f n af n b c 的增函式，其中nn被bb整除,b 1,bb 1...