演算法導論動態規劃

動態規劃這個演算法，我一直都搞不明白，也許因為我數學能力太差的緣故，總是不得其要領，每次學習這個演算法的時候，總是不知道所謂的狀態轉移方程到底是怎麼樣推導出來的。其實就在我寫這篇部落格的時候，我依然不清楚。

什麼問題能用動態規劃來解決呢？動態規劃問題的特徵就是最優子結構，乙個遞迴結構：

該問題需要求乙個最優解

該問題重複包含著子問題

比如說經典的動態規劃問題，最長公共子串行（如下所述），我們要求乙個最長的子串行，首先這是乙個最優解，其次，兩個序列的最長公共序列，也同時包含著子串行的最長公共序列。

動態規劃通常按以下4個步驟來設計乙個演算法：

刻畫乙個最優解的結構特徵

遞迴地定義最優解的值

計算最優解的值（通常採用自底向上的方法）

得用計算出的資訊構造乙個最優解

動態規劃往往還結合一些備忘方法，用於記錄中間解，以免重複求解子問題。下面來看幾個問題：

給定乙個鋼條切割的長度和**，求出最佳的切割方案。且看下列：

長度(i)12

3456

78910

**(pi)15

891017

1720

2430

假設我們切割一條長度為 4 的鋼條，總共有以下幾種方案：

1. 不切割，**為 9

2. 1 和 3 ：**為 1 + 8 = 9

3. 2 和 2 ：**為 5 + 5 = 10

4. 3 和 1 ：**為 8 + 1 = 9

5. 1､2､1 ：**為 1 + 5 + 1 = 7

6. 1､1､2 ：**為 1 + 1 + 5 = 7

7. 2､1､1 ：**為 2 + 1 + 1 = 7

可知道分割一條長度為4的鋼條，最優的切割方案為「方案2」。更通俗一點，我們可以令rn為切割長度為n的鋼條，可以很輕鬆的得到以下公式：

這樣，**就容易寫了，如下所示：

#include 
#include 
#include 
int rodcut_recursive_down_to_up(int* p, int* s, int* k, int m, int n)}}
return q;
}int rodcut_recursive_up_to_down(int* p, int* s, int* k, int m, int n)
}return q;
}int main(void)
}free(p);
free(k);
free(s);
}return
0;}

輸入**表，然後輸入切割的長度，輸出最優方案，結果如下所示：

以上提供了兩種方案，一種是自頂向下的遞迴，一種是自底向上的遞迴設計，從**中我們可以看到兩者的區別，自頂向下，是先求解最後的結果，然後遞迴求解至第乙個結果，而自底向上則是先求解第乙個結果，直至最後乙個結果。

最長公共子串行是這樣乙個問題：有兩個字串s和t，求出兩者最長的公共子串行，如以下字串：

s：abcbdab

t：bdcaba

其中的最長公共子串行是 bdab、bcba、bcab等。

令c[i, j]表示從i到j的最長公共子串行，我們可以推導出以下狀態轉移式：

如果i到達字串s的長度或j到達字串t的長度，則最長公共子串行的長度為0

如果s[i] == t[j]，那麼最長公共子串行即為後續子串行的最長公共子串行+當前字元長度（1)

如果s[i] != t[j]，那麼最長公共子串行即為取s[i]的後續最長公共子串行與取t[i]的後續最長公共子串行的較大者（最後結果中未必有s[i]或t[j]）

根據上述說明，寫出的**如下所示：

#include 
#include 
#include 
int longestcommonsubsequence(char* s, char* t, char** u, int ss, int ts)
else
return0;}
int main (void)
scanf("%s", s);
scanf("%s", t);
printf("%d\n\n", longestcommonsubsequence(s, t, u, 0, 0));
for(int i = 0; i <= m; ++i)
int l = 0, r = 0;
while(u[l][r])
else
if(u[l][r] == u[l][r + 1])
++r;
else
++l;
}printf("\n");
free(s);
free(t);
for(int i = 0; i != m + 1; ++i)
free(u[i]);
free(u);
}return
0;}

輸入字串s和t，ss表示s串的起點，ts表示t串的起點，u記錄當前位置的最長公共子串行長度。輸出的結果如下所示：

從以上圖表可以看到，我們要拿到最長的公共子串行，則需要從【0, 0】點開始遍歷表，我們只能往右或往下遍歷，如果【i, j】點的兩個字元s[i]和t[j]相等，那麼我們應該走對角線，如果【i, j】== 【i, j + 1】那麼我們應該往右走，否則應該往下走。如以上**所示。

給定乙個整數序列，求其中的乙個連續子串行，使其和最大。如給定以下序列：

-2 11 -4 13 -5 -2, 其最大連續子串行和為: 11 -4 + 13 = 20

定義sum[i]為最大子串行和，可以推導出以下狀態轉移方程：

其實，這個方程，我並不知道是怎麼樣推導出來的，前面乙個好理解，不過為什麼要和當前值做比較取較大者，我真的不明白。希望有人能給我指點迷津。根據以上方程，我寫出的**如下所示：

#include 
#include 
#include 
int maxsum = 0;
int maxsequencesum(int* num, int s, int e)
return sum;
}return0;}
int main(void)
return
0;}

程式的輸出結果，如下圖所示：

還有一種更簡單的寫法：

int maxsumsubsequence(const
int a, int n)
return maxsum; 
}

這段**是網上抄的，我一開始真沒想到這麼寫。我的水平還有很大的提公升空間。

以上**本人親自編寫，經本人測試基本無誤，也許編寫方式和網上流傳有所不同，如有錯漏，請批評指正。

動態規劃這個演算法真的實用性很大，可惜我依然是半知半解，之所以厚臉皮寫出這篇文章，也是希望有一日能被某個高人碰巧看到這篇拙劣的博文，指點一下我這個苦苦自學，身邊沒朋友諮詢的小弟，在此感謝先。

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