以前做過一道題（191. number of 1 bits ）講的是給定乙個數，求它二進位制下的1的個數。如果是對於乙個數，那麼可以用位運算黑魔法：（對末尾做與1的與運算）
class
solution
(object):
defhammingweight
(self, n):
ans=0
while n:
if n&1==1:
ans+=1
n=n>>1
return ans
n)的時間和空間裡計算出[0
,n] 區間裡所有整數的二進位制下的1的個數(hamming weight - wikipedia)。o(
n)的時間要求是有點小苛刻的，首先遍歷一次[0
,n] 區間裡所有整數就需要o(
n)，那麼每次小操作需要在o(
1)內才是可以的，首先想到的是能不能用上面leetcode191的做法來套用呢？不妨分析一下複雜度。
容易看出對於乙個數
n ，這樣的操作（主要是移位操作）時間複雜度是o(
log2
n)，那麼利用斯特林公式可以估算區間[0
,n] 區間裡所有整數就需要大約 t(
n)=∑
i=1n
log2
i=lo
g2n!
∼log
2nn=
nlog
2n很遺憾的是並不能直接滿足題目中所要求的o(
n)複雜度，如果消耗一點空間換時間，利用上述的方法還是有機會降到o(
n)的動態規劃的思路：用r
es表示最終的結果，改寫上述方法為乙個一維的遞推式： re
s(n)
=res
([n2
])+n
&1也就是說一直維護這樣的乙個一維陣列，每次都記錄其結果，顯然時間複雜度是o(
n)，空間也是o(
n)，滿足題目要求。不過這並不是我首先想到的思路，我首先想到的是，直接從n的p進製下的數碼之和角度入手。
class
solution
(object):
defcountbits
(self, num):
ans=[0]
for x in range(1,num+1):
ans+=[ans[x>>1]+(x&1)]
return ans
(n) 表示n的p進製下的數碼之和，用ap
表示n!
的標準分解中
p 的冪次，即pa
p∤n!
，但pap
+1|n
! 。首先寫出表示式： n=
akpk
+...
+a1p
+a0=
(ak.
..a1
a0)p
容易得出每一項係數的準確公式： ai
=[np
i]−p
[npi
+1]
接著進行一下數學推導：sp
(n)=
∑i=0
kai=
∑i=0
k[np
i]−p
∑i=0
k[np
i+1]
=n+∑
i=1k
[npi
]−p∑
i=0k
[npi
+1]=
n−(p
−1)∑
i=1k
[npi
]−p[
npk+
1]=n
−(p−
1)∑i
=1∞[
npi]
−0=n
−(p−
1)ap
這個推導需要用到勒讓德公式，即n!
中p的冪次為∑∞
i=1[
npi]
,顯然這種辦法主要複雜度回耗在勒讓德公式上，可以觀察到
p 的冪次i達到
logp
n 時候，勒讓德公式後面的每一項均為0，即對於二進位制而言，完成一次勒讓德運算需要o(
log2
n)，那麼對於原問題一共需要o(
nlog
2n) 的時間。
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