這是最近做的乙個python的小專案，內容是實現求導的符號運算，雖然我最終的實現化簡能力能力比較弱，但是還是乙個很有意思的專案。
語法樹是我這個專案裡面所有表示式的存在形式。
樹的乙個結點要麼是字串(常數或者變數)，要麼是內部結點，內部結點代表一棵子樹，對應儲存的結構體有兩個字段:根儲存的運算和子結點的列表，列表元素個數是操作符的元數，列表元素是子結點。
例如字首表示式(+ (* x 2) 1)表示2x+1，那麼對應的樹根結點是』+』，對應的子結點列表是[tree(2x), 1],其中tree(2x)又是一棵子語法樹，根為』*』, 對應子結點的列表是[2, x]。即語法樹是遞迴定義的，最終葉子結點是常量或者變數。
我的專案中約定輸入字首表示式，即類似lisp的表示式，所以轉化非常方便。
對於字首表示式(op arg0, arg1, …, argn)，先讀入op為根結點操作符，然後讀入引數列表即可建立語法樹，注意讀入引數列表過程中可能讀到表示式，需要遞迴建樹。
利用字首表示式的演算法遞迴求值即可。遇到變數，代入具體數值即可。
設calculate(tree,x)計算tree在變數取值x時候的值。
因為要求乙個函式而不是具體數值，所以需要返回乙個函式或者lambda表示式，可以實現func(tree) 為lambda x: calculate(tree, x)。
這裡是演算法的核心。
對於二元運算，演算法為遞迴求導，規則如下:
1.葉子結點：x導數為1，常數導數為0。
2.非葉子結點，左右子樹為l，r。那麼結點的運算來遞迴求導: (l
+r)′
=l′+
r′ (
l−r)
′=l′
−r′
(l∗r
)′=l
∗r′+
l′∗r
(l/r)′=
(l′∗
r−l∗
r′)/
(r2)
(lr)′=(
rlr−
1)∗l
′+ln
(l)l
r∗r′
手動實現這五條規則即可。
對於一元函式，有統一的計算方法，即鏈式法則: h(
g(x)
)′=h
′(g(
x))∗
g′(x
) 所以需要儲存乙個函式表，儲存下每乙個函式的導函式，利用鏈式法則遞迴計算即可。注意我們這兒並不儲存導函式的函式形式，而是儲存如何建立導函式語法樹的lambda表示式。、
例如，ln(x)的導函式就是lambda x: exptree(『\』, [1, x])。
因為上述的求導規則經常會產生0或者1項，例如: (2
∗x)′
=(2)
′∗x+
2∗(x
)′=0
∗x+2
∗1所以需要化簡，規則為: 1.0
+m=m
+0=m
2.m−
0=m
3.1∗m
=m∗1
=m4.0∗
m=m∗
0=0
5.m/1
=m6.0/
m=0
7.m1=
m 8.0
m=0
手動實現規則即可。
要注意的是，需要先化簡子樹來遞迴化簡。另外，如果左右子樹都是常數，可以直接計算。
介面需要使用者輸入字首表示式和運算指令，輸出對應的函式或者函式值，另外輸出對應函式的時候，為了直觀，除了函式的中綴表示式，我還輸出了函式影象。
互動上我沒有花和大力氣，所以格式相對比較死板，不過提供了足夠的幫助資訊，應該用起來很方便。
但是，這畢竟只是乙個耗時一天不到的小專案，要改進的地方還有很多:
１.這個專案不能運用運算律和函式性質化簡，所以以下這些化簡，暫時無法完成:
x-x=0，2x+3x=5x，sinx * sinx + cosx * cosx=1，ln(exp(x))=x。
2.這個專案暫時不支援自己指定中間函式，這個涉及到詞法語法分析等等，沒有實現。
3.對於重複表示式沒有共享而是一一計算，沒有優化。
但是畢竟這是乙個輕量級專案，所以不準備加入這些特性了。
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