就是用於解決線性規劃問題的一般演算法。
時間複雜度比較玄學，不是多項式演算法，但是實際表現不錯。
線性規劃
在給定有限資源和競爭約束的情況下，要最大化或最小化某個目標，如果可以把目標描述為某些目標的線性函式，且約束為某些變數的不等式或等式，那我們就可以得到乙個線性規劃問題,如網路流問題就是特殊的線性規劃。
幾個經典問題的線性規劃表達：
最短路： 最大
化:dt
滿足約束:dv
<=du
+w(u
,v)
ds=0
,di≥
0 最大流： 最大
化:∑v
∈vfl
owsv
−∑v∈
vflo
wvs
滿足約束
:flo
wuv≤
cap(
u,v)
∑v∈vflo
wvu=
∑v∈v
flow
uv f
uv≥0
最小費用最大流： 最小
化:∑(
u,v)
cost
(u,v
)flo
wuv
滿足約束
:flo
wuv≤
cap(
u,v)
∑v∈vflo
wsv−
∑v∈v
flow
vs=m
axfl
ow ∑
v∈vf
lowv
u=∑v
∈vfl
owuv
fuv≥0
線性規劃表示方法
標準型： 最大
化:∑i
=1nc
ixi
滿足約束
：∑j=
1nai
j∗xj
≤bii
=1,2...,m
xi≥0i=1
,2,.
..,n
要把普通的式子轉化為標準型怎麼搞呢？很簡單：
若目標是要最小化，取個負號就變最大化了。
若有變數沒有非負約束，拆成xi
=x′i
−x′′i
,x′i
,x′′i
≥0。 若有等式，就變成大於等於和小於等於兩個約束。若有大於等於約束，就取反。
鬆弛型：
為了用單純形演算法，我們更喜歡將約束表示成等式,
對於 m
個標準型中的約束,我們加
m個變數，改為 滿足
約束：x
i+n=
bi−∑
j=1n
aijx
i xi
≥0其中左邊的
x 被稱為基本變數，右邊為非基本變數。我們記基本變數的集合為
b，非基本變數集合為
n 。這樣我們就能用乙個元組 (n
,b,a
,b,c
,v)表示乙個鬆弛形： 最大
化:z=
v+∑i
∈nci
xi 滿
足約束:
xi=b
i−∑j
∈nai
jxj,
i∈b
xi≥0
,i∈(
b∪n)
主要思想：大概可以理解成」不等式的高斯消元」。單純形通過不斷改變基本變數與非基本變數的集合，不斷重寫鬆弛形，直到變成最優解顯而易見的形式。
鬆弛形的基本解: 所有非基本變數xi
=0，得到基本變數 xi
+n=b
i ,這樣一組解，此時目標函式z=
v+∑i
∈nci
xi=v
。 主要步驟:
1.先找到一組初始的基本可行解。(下面會解釋)
2.找到乙個在目標函式中係數為正的非基本變數
e ，我們希望使他變大。若找不到說明已經到最優解了，結束演算法。
3.在m個約束中找到乙個限制e的值最緊的約束 l。
4.交換
e 與
l中的基本變數 的位置，即重寫約束
l ,使
e變為基本變數，原本
l 中的基本變數變為非基本變數。然後把其他的約束和目標函式中的
e替換掉。這個過程稱為一次轉動。
5.回到步驟2。
關於第乙個步驟，找基本解可行解：
由於一開始的 bi
不一定非負，所以基本解不合法，我們需要進行一些轉動使得bi
為正。
如何搞呢？
有一種玄學的簡單搞法是這樣的：每次瞎jb隨機選乙個負的bi,在對應的約束中瞎jb隨機選乙個係數負的
x , 然後轉動一下，這樣這個約束就負負得正了。不斷重複上述過程，直到找不到負的bi的為止。
這個搞法不能保證正確性，但是簡單一些。
正常的方法應該是建立乙個輔助線性規劃，不過好像用上面的玄學演算法的人更多。
輔助線性規劃：
(留坑…)
正確性證明什麼的不會。
下面是模板(uoj176)，有很多細節，但理解步驟後都不是問題，各人有各人的寫法。
#include
#include
#include
#include
using
namespace
std;
const
int maxn=55;
const
double eps=1e-8;
int n,m,type;
double a[maxn][maxn],ans[maxn];
int id[maxn*2];
void pivot(int l,int e)
}bool init()
return
true;
}bool ******x()
if(!e) break;
for(int i=1;i<=m;i++)
if(-a[i][e]<-eps&&a[i][0]/a[i][e]<_min) _min=a[i][0]/a[i][e], l=i;
if(!l) return
printf("unbounded\n"),false;
pivot(l,e);
}return
true;
}int main()
for(int i=1;i<=n;i++) id[i]=i;
if(init()&&******x())
}return
0;}
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