最長遞增子串行 O NlogN 演算法

2021-08-04 05:37:16 字數 1783 閱讀 7988

今天回顧woj1398,發現了這個當時沒有理解透徹的演算法。

看了好久好久,現在終於想明白了。

試著把它寫下來,讓自己更明白。

最長遞增子串行,longest increasing subsequence 下面我們簡記為 lis。

排序+lcs演算法 以及 dp演算法就忽略了,這兩個太容易理解了。

假設存在乙個序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7,可以看出來它的lis長度為5。

下面一步一步試著找出它。

我們定義乙個序列b,然後令 i = 1 to 9 逐個考察這個序列。

此外,我們用乙個變數len來記錄現在最長算到多少了

首先,把d[1]有序地放到b裡,令b[1] = 2,就是說當只有1乙個數字2的時候,長度為1的lis的最小末尾是2。這時len=1

然後,把d[2]有序地放到b裡,令b[1] = 1,就是說長度為1的lis的最小末尾是1,d[1]=2已經沒用了,很容易理解吧。這時len=1

接著,d[3] = 5,d[3]>b[1],所以令b[1+1]=b[2]=d[3]=5,就是說長度為2的lis的最小末尾是5,很容易理解吧。這時候b[1..2] = 1, 5,len=2

再來,d[4] = 3,它正好加在1,5之間,放在1的位置顯然不合適,因為1小於3,長度為1的lis最小末尾應該是1,這樣很容易推知,長度為2的lis最小末尾是3,於是可以把5淘汰掉,這時候b[1..2] = 1, 3,len = 2

繼續,d[5] = 6,它在3後面,因為b[2] = 3, 而6在3後面,於是很容易可以推知b[3] = 6, 這時b[1..3] = 1, 3, 6,還是很容易理解吧? len = 3 了噢。

第6個, d[6] = 4,你看它在3和6之間,於是我們就可以把6替換掉,得到b[3] = 4。b[1..3] = 1, 3, 4, len繼續等於3

第7個, d[7] = 8,它很大,比4大,嗯。於是b[4] = 8。len變成4了

第8個, d[8] = 9,得到b[5] = 9,嗯。len繼續增大,到5了。

最後乙個, d[9] = 7,它在b[3] = 4和b[4] = 8之間,所以我們知道,最新的b[4] =7,b[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9,len = 5。

於是我們知道了lis的長度為5。

!!!!! 注意。這個1,3,4,7,9不是lis,它只是儲存的對應長度lis的最小末尾。有了這個末尾,我們就可以乙個乙個地插入資料。雖然最後乙個d[9] = 7更新進去對於這組資料沒有什麼意義,但是如果後面再出現兩個數字 8 和 9,那麼就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6],得出lis的長度為6。

然後應該發現一件事情了:在b中插入資料是有序的,而且是進行替換而不需要挪動——也就是說,我們可以使用二分查詢,將每乙個數字的插入時間優化到o(logn)~於是演算法的時間複雜度就降低到了o(nlogn)~!

**如下:

//在非遞減序列 arr[s..e](閉區間)上二分查詢第乙個大於等於key的位置,如果都小於key,就返回e+1

int upper_bound(int arr, int s, int e, int key)

return s;

}int lis(int d, int n)

return

len;

}

update @ 2016-08-21

沒想到7年多了還要更新一下……

update @ 2017-04-16

補充一下,由於上面那段**用的是upper_bound,所以實際上求的是最長不下降子串行;如果要求遞增子串行,應該改用lower_bound。

最長遞增子串行 O NlogN 演算法

最長遞增子串行 o nlogn 演算法 今天回顧woj1398,發現了這個當時沒有理解透徹的演算法。看了好久好久,現在終於想明白了。試著把它寫下來,讓自己更明白。最長遞增子串行,longest increasing subsequence 下面我們簡記為 lis。排序 lcs演算法 以及 dp演算法...

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