（一）齊次座標：
「齊次座標表示是計算機圖形學的重要手段之一，它既能夠用來明確區分向量和點，同時也更易用於進行仿射（線性）幾何變換。」—— f.s. hill, jr。：
對於乙個向量
v以及基
oabc
，可以找到一組座標
(v1,v2,v3)
，使得v = v1 a + v2 b + v3c （1
）對於乙個點
p，則可以找到一組座標（
p1,p2,p3
），使得p –
o = p1 a + p2 b + p3c （2
）從上面對向量和點的表達，我們可以看出為了在座標系中表示乙個點（如
p），我們把點的位置看作是對這個基的原點
o所進行的乙個位移，即乙個向量——p–
> o
（有的書中把這樣的向量叫做位置向量——起始於座標原點的特殊向量），我們在表達這個向量的同時用等價的方式表達出了點p：
p = o + p1 a + p2 b +p3 c (3)
(1)(3)
是座標系下表達乙個向量和點的不同表達方式。這裡可以看出，雖然都是用代數分量的形式表達向量和點，但表達乙個點比乙個向量需要額外的資訊。如果我寫出乙個代數分量表達
(1, 4, 7)
，誰知道它是個向量還是個點！
我們現在把（1）（
3）寫成矩陣的形式：
v = (v1 v2 v3 0) x (a bc o)
p = (p1 p2p3 1) x (a b c o),
這裡(a,b,c,o)
是座標基矩陣，右邊的列向量分別是向量v和點
p在基下的座標。這樣，向量和點在同乙個基下就有了不同的表達：
l 3d
向量的第
4個代數分量是
0l 3d
點的第4
個代數分量是1。
像這種這種用
4個代數分量表示
3d幾何概念的方式是一種齊次座標表示。
這樣，上面的
(1, 4, 7)
如果寫成（
1,4,7,0
），它就是個向量；如果是
(1,4,7,1)
，它就是個點。
下面是如何在普通座標
(ordinary coordinate)
和齊次座標
(homogeneouscoordinate)
之間進行轉換：
(1)從普通座標轉換成齊次座標時
如果(x,y,z)
是個點，則變為
(x,y,z,1);
如果(x,y,z)
是個向量，則變為
(x,y,z,0)
(2)從齊次座標轉換成普通座標時
如果是(x,y,z,1)
，則知道它是個點，變成
(x,y,z);
如果是(x,y,z,0)
，則知道它是個向量，仍然變成
(x,y,z)
以上是通過齊次座標來區分向量和點的方式。從中可以思考得知，對於平移
t、旋轉
r、縮放s這
3個最常見的仿射變換，平移變換只對於點才有意義，因為普通向量沒有位置概念，只有大小和方向
.;而旋轉和縮放對於向量和點都有意義，你可以用類似上面齊次表示來檢測。從中可以看出，齊次座標用於仿射變換非常方便。
此外，對於乙個普通座標的點
p=(px, py, pz)
，有對應的一族齊次座標
(wpx, wpy, wpz, w)
，其中w
不等於零。比如，
p(1, 4, 7)
的齊次座標有
(1, 4, 7, 1)
、（2, 8, 14, 2
）、（-0.1, -0.4, -0.7, -0.1
）等等。因此，如果把乙個點從普通座標變成齊次座標，給
x,y,z
乘上同乙個非零數
w，然後增加第
4個分量
w；如果把乙個齊次座標轉換成普通座標，把前三個座標同時除以第
4個座標，然後去掉第
4個分量。
由於齊次座標使用了
4個分量來表達
3d概念，使得平移變換可以使用矩陣進行，從而如
f.s. hill,jr
所說，仿射（線性）變換的進行更加方便。由於圖形硬體已經普遍地支援齊次座標與矩陣乘法，因此更加促進了齊次座標使用，使得它似乎成為圖形學中的乙個標準。
(二)四元數：
旋轉，是三種座標變換——縮放、旋轉和平移，中最複雜的一種了。
旋轉的表示方法——矩陣旋轉和尤拉旋轉
和四元數旋轉。
1、矩陣旋轉使用了乙個4*4大小的矩陣來表示繞任意軸旋轉的變換矩陣
2、尤拉選擇則是按照一定的座標軸順序（例如先x、再y、最後z）、每個軸旋轉一定角度來變換座標或向量，它實際上是一系列座標軸旋轉的組合。
3、四元數
本質上是一種高階複數，是乙個四維空間，相對於複數的二維空間。
舉個栗子：我們高中的時候應該都學過複數，乙個複數由實部和虛部組成，即x = a+ bi，i是虛數單位，如果你還記得的話應該知道i^2 =-1。而四元數其實和我們學到的這種是類似的，不同的是，它的虛部包含了三個虛數單位，i、j、k，即乙個四元數可以表示為x = a+ bi + cj + dk。那麼，它和旋轉為什麼會有關係呢？
在unity裡，tranform元件有乙個變數名為rotation，它的型別就是四元數。很多初學者會直接取rotation的x、y、z，認為它們分別對應了transform面板裡r的各個分量。當然很快我們就會發現這是完全不對的。實際上，四元數的x、y、z和r的那三個值從直觀上來講沒什麼關係，當然會存在乙個表示式可以轉換。
乙個四元數可以表示為q = w + xi + yj + zk，現在就來回答這樣乙個簡單的式子是怎麼和三維旋轉結合在一起的。為了方便，我們下面使用
q = ((x, y, z)，w)= (v, w)，其中v是向量，w是實數，這樣的式子來表示乙個四元數。
我們可以使用乙個四元數q
=((x,y
,z)sin
θ2, cos
θ2) 來執行乙個旋轉。具體來說，如果我們想要把空間的乙個點p繞著單位向量軸u = (x, y, z)表示的旋轉軸旋轉θ角度，我們首先把點p擴充套件到四元數空間，即四元數p = (p, 0)。那麼，旋轉後新的點對應的四元數（當然這個計算而得的四元數的實部為0，虛部係數就是新的座標）為：p′
=qpq−1
其中，q
=(cos
θ2, (x,
y,z)sin
θ2) ，q−1=
q∗n(
q)，由於u是單位向量，因此n(
q)=1，即q−1
=q∗。右邊表示式包含了四元數乘法。
我們舉個最簡單的例子：把點p(1, 0, 1)繞旋轉軸u = (0, 1, 0)旋轉90°，求旋轉後的頂點座標。首先將p擴充到四元數，即p = (p, 0)。而q = (u*sin45°, cos45°)。求p′=
qpq−1的值。建議大家一定要在紙上計算一邊，這樣才能加深印象，連筆都懶得動的人還是不要往下看了。最後的結果p` = ((1, 0, -1), 0)，即旋轉後的頂點位置是(1, 0, -1)。
如果想要得到復合旋轉，只需類似復合矩陣那樣左乘新的四元數，再進行運算即可。
最後我們可以了解這三種旋轉方式的優缺點：
缺點：
尤拉旋轉
缺點：
四元數旋轉
缺點：
說下四元數旋轉的幾個需要注意的地方：
下面是幾點建議：
齊次座標的理解
一直對齊次座標這個概念的理解不夠徹底，只見大部分的書中說道 齊次座標在仿射變換中非常的方便 然後就沒有了後文，今天在乙個叫做 三百年 重生 的部落格上看到一篇關於透視投影變換的 的文章，其中有對齊次座標有非常精闢的說明，特別是針對這樣一句話進行了有力的證明 齊次座標表示是計算機圖形學的重要手段之一，...
齊次座標的理解
一直對齊次座標這個概念的理解不夠徹底，只見大部分的書中說道 齊次座標在仿射變換中非常的方便 然後就沒有了後文，今天在乙個叫做 三百年 重生 的部落格上看到一篇關於透視投影變換的 的文章，其中有對齊次座標有非常精闢的說明，特別是針對這樣一句話進行了有力的證明 齊次座標表示是計算機圖形學的重要手段之一，...
齊次座標的理解
在乙個叫做 三百年 重生 的部落格上看到一篇關於透視投影變換的 的文章，其中有對齊次座標有非常精闢的說明，特別是針對這樣一句話進行了有力的證明 齊次座標表示是計算機圖形學的重要手段之一，它既能夠用來明確區分向量和點，同時也更易用於進行 仿射 線性 幾何變換。f.s.hill,jr。下面是作者對齊次座...