什麼是最小樹形圖？相信大家如果會過來看這篇文章，想必也應該對最小生成樹有所了解的，最小生成樹求的是無向圖的一顆生成樹的最小權值。我們的最小樹形圖就是來解決乙個有向圖的一顆生成樹的最小權值，對於度娘來說，最小樹形圖是這樣定義的：最小樹形圖，就是給有向帶權圖中指定乙個特殊的點root，求一棵以root為根的有向生成樹t，並且t中所有邊的總權值最小。
通解最小樹形圖的一種演算法是是2023年朱永津和劉振巨集提出的複雜度為o(ve)的演算法：朱、劉演算法。
今天我們就來**一下最小樹形圖的問題。
大題上完整的朱、劉演算法是由四個大步驟組成的：
1、求最短弧集合e
2、判斷集合e中有沒有有向環，如果有轉步驟3，否則轉4
3、收縮點，把有向環收縮成乙個點，並且對圖重新構建，包括邊權值的改變和點的處理，之後再轉步驟1。
4、展開收縮點，求得最小樹形圖。
因為我們acm一般情況下都是在考察隊最小樹型圖的權值問題，所以一般省略步驟4，對於其環的權值和在中間處理過程中就可以處理完畢。所以我們這裡就不多討論第四個點了。
我們分步處理、
1、首先我們先求最短弧集合e，對於當前圖如果有n個點（乙個有向環的收縮點算作乙個點），我們就要選出n-1個點，確定其入邊的最短邊，由其組成的乙個集合我們就叫做最短弧集合e，如果我們列舉到某乙個點的時候，它沒有入邊，那麼說明不存在最小樹形圖，所以這個時候演算法結束，回到主函式。
**實現：
for(int i=1; i<=n; i++)if(i!=u&&!flag[i])//u作為圖的根節點，flag【i】為1的情況就是表示這個點在某個有向環裡邊，並且他不是這個有向環的代表點（縮點）
if(pre[i]==i)return -1;//如果當前列舉到的點i沒有入邊，那麼就不存在最小樹形圖（因為一顆樹是要所有節點都是連通的啊）
}
int i;
for(i=1; i<=n; i++)
}
上圖變換成語言描述：如果點u在環內，如果點k在環外，並且從k到u有一條邊map【u】【v】=w，並且在環內還有一點i，使得map【i】【k】=w2，辣麼map【k】【收縮點】=w-w2；
基於貪心思想，對於環的收縮點i和另外一點k（也在環內），對於環外一點j，如果map【k】【j】
int j=i;
memset(vis, 0, sizeof(vis));
do
while(j!=i);
flag[i] = false; // 環縮成了點i，點i仍然存在
for(int k=1; k<=n; ++k)if(vis[k]) // 在環中點點，剛剛在收縮點的時候，已經把在環中的點進行標記了。
}
因為我們acm一般求的都是最小樹形圖的權值，所以我們一般不需要展開收縮點，在處理環的時候，直接將其邊權值記錄下來就好，當找到乙個沒有環的集合e的時候，對其中的最後邊權值進行加和即可，對於最後這部分的加權，**實現:
if(i>n)//這塊**是緊接著**2之後的部分，如果列舉了所有點i都沒有發現有向環，辣麼就是找到了這個最終集合。
void init()//不能少了初始化的內容
} double directed_mst(int u)//u表示根節點
//判斷e是否有環
int i;
for(i=1; i<=n; i++)
} if(i>n)
//有環，進行收縮，把整個環都收縮到乙個點i上。
int j=i;
memset(vis, 0, sizeof(vis));
do
while(j!=i);
flag[i] = false; // 環縮成了點i，點i仍然存在
//收縮點的同時，對邊權值進行改變
for(int k=1; k<=n; ++k)if(vis[k]) // 在環中點點
學習筆記 朱劉演算法
樹形圖 最小樹形圖問題 找出總邊權和最小的樹形圖 朱劉演算法解決最小樹形圖問題。對於除根外每個點，找出該點入邊中權值最小的邊，把權加到答案中。判斷選出的邊是否存在環。若無環，退出，找到最小樹形圖，若有環，繼續執行步驟 3。將所有環縮點，構造乙個新圖，對於舊圖的每條邊 對於每個環而言，至少去掉一條邊。...
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