卡特蘭數的第n項記作h(n)。
其中h(0) = 1, h(1) = 1, h(2) = 2.
我理解的是：h(n)表示包含n對括號的合法括號序列的數目。h(
n)=c
n2n−
cn+1
2n=c
n2nn
+1 h
(n)=
∑n−1
k=0h
(k)∗
h(n−
k−1)
把括號序列看作01序列，0是左括號，1是右括號，不合法就是某字首1的個數大於這個字首0的個數。
首先，在不考慮合不合法的情況下，有n個0、1的序列一共有cn
2n個，接下來考慮不合法的有多少。
如果有乙個不合法序列，則一定有一奇數字2m+1首次出現(1~2m +1)中有m+1個1、m+1個0，(m + 2~2n)中有(n - m) 2 +1個0，(n - m) 2-1個1，我們把,(m + 2~2n)中0、1互換，則現在一共有n+1個1,n-1個0。
反過來推，任意乙個有n+1個1、n-1個0的序列都可以變化為乙個不合法序列，所以有n+1個1、n-1個0的序列一一對應乙個不合法的序列，則不合法的序列一共有cn
+12n
。 所以：h(n
)=cn
2n−c
n+12
n 1.合法括號序列方案數。
2.二叉平衡樹的形態數（用尤拉序想想）。
3.凸多邊形的三角劃分數（用第二條性質易得）。
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