拉格朗日乘數法是用來求條件極值的，極值問題有兩類，其一，求函式在給定區間上的極值，對自變數沒有其它要求，這種極值稱為無條件極值。
其二，對自變數有一些附加的約束條件限制下的極值，稱為條件極值。例如給定橢球： x2
a2+y
2b2+
z2c2
=1(1)
求這個橢球的內接長方體的最大體積。這個問題實際上就是條件極值問題，即在條件： x2
a2+y
2b2+
z2c2
=1(1)
下，求f(x
,y,z
)=8x
yz的最大值。
當然這個問題實際可以先根據條件消去
z ，然後帶入轉化為無條件極值問題來處理。但是有時候這樣做很困難，甚至是做不到的，
這時候就需要用拉格朗日乘數法了。如下描述：
求函式z=f
(x,y
)在滿足p(
x,y)
=0下的條件極值，可以轉化為函式f(
x,y,
λ)=f
(x,y
)+λp
(x,y
) 的無條件極值問題。如果(x
0,y0
,λ0)
是函式f(
x,y,
λ)的駐點，則(x
0,y0
) 就是條件極值的嫌疑點。
回到上面的題目，通過拉格朗日乘數法將問題轉化為： f(
x,y,
z,λ)
=f(x
,y,z
)+λp
(x,y
,z)=
8xyz
+λ(x
2a2+
y2b2
+z2c
2−1)
(2) 對f
(x,y
,z,λ
) 求偏導，然後通過偏導求出x,
y,z 的關係，再與已知聯立方程組，求出未知數即可。
拉格朗日乘數法
在求取有約束條件的優化問題時，拉格朗日乘子法 lagrange multiplier 和kkt條件是非常重要的兩個求取方法，對於等式約束的優化問題，可以應用拉格朗日乘子法去求取最優值 如果含有不等式約束，可以應用kkt條件去求取。當然，這兩個方法求得的結果只是必要條件，只有當是凸函式的情況下，才能保...
拉格朗日乘數法
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拉格朗日乘數法
在求取有約束條件的優化問題時，拉格朗日乘子法 lagrange multiplier 和kkt條件是非常重要的兩個求取方法，對於等式約束的優化問題，可以應用拉格朗日乘子法去求取最優值 如果含有不等式約束，可以應用kkt條件去求取。當然，這兩個方法求得的結果只是必要條件，只有當是凸函式的情況下，才能保...