陣列與矩陣找到無序陣列中最小的k個數

【題目】

給定乙個無序的整型陣列arr，找到其中最小的k個數。

【要求】

如果陣列arr的長度為n，排序之後自然可以得到最小的k個數，此時時間複雜度與排序演算法的時間複雜度相同，為o(nlogn)。本題要求讀者實現時間複雜度為o(nlogk)和o(n)的方法。

【基本思路】

o(nlogk)的方法。思路很簡單，就是一直維護乙個大小為k的大根堆，這個堆表示目前選出的k個最小的數。接下來遍歷整個陣列，遍歷過程中看當前數是否比堆頂元素小，如果是的話，將堆頂元素替換成當前的數，然後從堆頂向下調整堆；否則，不進行任何操作。遍歷結束後，堆中的k個數就是答案。

下面是使用python3.5實現的**：

def
getminknumsbyheap
(arr, k):
defheapinsert
(heap, value, i):
heap[i] = value
parent = (i-1) // 2
while parent >= 0:
if arr[parent] < value:
arr[i] = arr[parent]
i = parent
parent = (parent-1) // 2
else:
break
arr[i] = value
defheapify
(heap, index):
n = len(heap)
child = 2 * index + 1
tmp = heap[index]
while child < n:
if child < n-1
and heap[child] < heap[child+1]:
child += 1
if heap[child] > tmp:
heap[index] = heap[child]
index = child
child = 2 * child + 1
else:
break
heap[index] = tmp
if arr == none
or len(arr) == 0
or k < 1
or k > len(arr):
return arr
heap = [0
for i in range(k)]
for i in range(k):
heapinsert(heap, arr[i], i)
for i in range(k, len(arr)):
if arr[i] < heap[0]:
heap[0] = arr[i]
heapify(heap, 0)
return heap

o(n)的方法。需要用到乙個經典的演算法——bfprt 演算法。該演算法解決的問題是，在時間複雜度o(n)內，從無序陣列中找到第k個最小的數。顯然，如果我們找到第k個最小的數，只需要再遍歷一次陣列即可找到最小的k個數。

假設bfprt演算法的函式是selct(arr, k)，表示在arr中找到第k個最小的數並返回。具體演算法過程如下：

將arr中的n個元素5個5個分成一組，不夠5個的單獨分成一組

對每個組進行組內排序（插入排序）。排序後找到每個組的中位數，如果組的元素個數是偶數，這裡規定找下中位數

步驟2中一定會找到n/5個中位數，讓這些中位數組成乙個新的陣列，假設為res。遞迴呼叫select(res, len(res)/2)，意義是找到這個新陣列的中位數，即res中第res/2小的數

假設步驟3中遞迴呼叫select後，返回的數是x。根據這個x劃分整個arr陣列(partition過程）：比x小的都放在x的左邊，比x大的都放在x的右邊。假設劃分完後，x在arr中的位置記為 i

如果i == k-1，說明x為整個陣列中第k個小的數，直接返回；如果i > k-1，說明第k個最小的數在x左邊，呼叫select函式在左半區尋找；如果i < k-1，說明第k個最小的數在x右邊，呼叫select函式在右半區尋找

在整個實現的過程中，對bfprt做了一點改進，改進的地方是當中位數的中位數x出現多次時，我們返回的是乙個下標範圍而不是乙個值。這樣可以減少遞迴呼叫的次數。

下面是使用python3.5實現的**：

def
getminknumsbybfprt
(arr, k):
if arr == none
or len(arr) == 0
or k < 1
or k > len(arr):
return arr
minkth = getminkthbybfprt(arr, k)
res = 
for i in range(len(arr)):
if arr[i] < minkth:
for i in range(len(res), k):
return res
defgetminkthbybfprt
(arr, k):
copyarr = [arr[i] for i in range(len(arr))]
return select(copyarr, 0, len(copyarr)-1, k-1)
defselect
(arr, begin, end, index):
if begin == end:
return arr[begin]
pivot = medianofmedian(arr, begin, end)
pivotrange = partition(arr, begin, end, pivot) #返回乙個大小為2的陣列，表示pivot這個數 \
在陣列中的範圍，因為pivot可能出現了不止一次
if index >= pivotrange[0] and index <= pivotrange[1]:
return arr[index]
elif index < pivotrange[0]:
return select(arr, begin, pivotrange[0]-1, index)
else:
return select(arr, pivotrange[1]+1, end, index)
defmedianofmedian
(arr, begin, end):
num = end - begin + 1
offset = 0
if num % 5 == 0
else
1 res = [0
for i in range(num//5 + offset)]
for i in range(len(res)):
start = begin + i * 5
last = start + 4
if start + 4
<= end else end
res[i] = median(arr, start, last)
return select(res, 0, len(res) - 1, len(res) // 2)
defmedian
(arr, begin, end):
insertsorts(arr, begin, end)
mid = (begin + end) // 2
return arr[mid] if (end - begin + 1) % 2 == 1
else arr[mid+1]
definsertsorts
(arr, begin, end):
for i in range(begin+1, end+1):
tmp = arr[i]
j = i
while j > begin and tmp < arr[j-1]:
arr[j] = arr[j-1]
j -= 1
arr[j] = tmp
defpartition
(arr, begin, end, pivot):
small = begin - 1
cur = begin 
big = end + 1
while cur != big:
if arr[cur] == pivot:
cur += 1
elif arr[cur] < pivot:
arr[small+1], arr[cur] = arr[cur], arr[small+1]
small += 1
cur += 1
else:
arr[cur], arr[big-1] = arr[big-1], arr[cur]
big -= 1
ran = 
return ran

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