關於齊次座標的理解

問題：兩條平行線可以相交於一點

在歐氏幾何空間，同一平面的兩條平行線不能相交，這是我們都熟悉的一種場景。

然而，在透視空間裡面，兩條平行線可以相交，例如：火車軌道隨著我們的視線越來越窄，最後兩條平行線在無窮遠處交於一點。

歐氏空間（或者笛卡爾空間）描述2d/3d幾何非常適合，但是這種方法卻不適合處理透視空間的問題（實際上，歐氏幾何是透視幾何的乙個子集合），2維笛卡爾座標可以表示為（x,y）。

如果乙個點在無窮遠處，這個點的座標將會(∞,∞)，在歐氏空間，這變得沒有意義。平行線在透視空間的無窮遠處交於一點，但是在歐氏空間卻不能，數學家發現了一種方式來解決這個問題。

方法：齊次座標

簡而言之，齊次座標就是用n+1維來代表n維座標

我們可以在乙個2d笛卡爾座標末尾加上乙個額外的變數w來形成2d齊次座標，因此，乙個點(x,y)在齊次座標裡面變成了（x,y,w），並且有

x = x/w

y = y/w

例如，笛卡爾座標系下（1，2）的齊次座標可以表示為（1，2，1），如果點（1，2）移動到無限遠處，在笛卡爾座標下它變為(∞,∞)，然後它的齊次座標表示為（1，2，0），因為(1/0, 2/0) = (∞,∞)，我們可以不用」∞"來表示乙個無窮遠處的點了，哈哈。

為什麼叫齊次座標？

我們把齊次座標轉化為笛卡爾座標的方法是前面n-1個座標分量分別除以最後乙個分量即可。

轉化齊次座標到笛卡爾座標的過程中，我們有乙個發現，例如：

你會發現(1, 2, 3), (2, 4, 6) 和(4, 8, 12)對應同乙個euclidean point (1/3, 2/3)，任何標量的乘積，例如(1a, 2a, 3a) 對應笛卡爾空間裡面的(1/3, 2/3) 。因此，這些點是「齊次的」，因為他們代表了笛卡爾座標系裡面的同乙個點。換句話說，齊次座標有規模不變性。

證明：兩條直線可以相交

考慮如下方程組：

我們知道在笛卡爾座標系裡面，該方程組無解，因為c ≠ d,如果c=d,兩條直線就相同了。

讓我們在透視空間裡面，用齊次座標x/w, y/w代替x ,y,

現在我們有乙個解(x, y, 0)，兩條直線相交於(x, y, 0)，這個點在無窮遠處。

小結：齊次座標在圖形學中是乙個非常基礎的概念，例如3d場景對映到2d場景的過程中

參考：

關於齊次座標的理解

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