最長遞增子串行

最長遞增子串行（longest increasing subsequence）是指找到乙個給定序列的最長子序列的長度，使得子串行中的所有元素單調遞增。

例如： 的 lis 是 ，長度為 4。

其實可以把 求最長遞增子串行問題 轉化為 求最長公共子串行的問題。

最長公共子串行的求法見《動態規劃dp》。本方法的時間複雜度是 θ

(nlg

n)+θ

(n2)

=θ(n

2)雖然解法一也是使用動態規劃，但是與解法一不同的是，解法二不進行轉化，而是直接在原問題上採用動態規劃法。

最優子結構：

對於長度為 n 的陣列 a[

n]= ，假設我們想求以ai

結尾的最大遞增子串行長度，設為l[

i]，那麼 l

[i]=

⎧⎩⎨m

ax(l

[j])

+1,1

,where 

j<

iand a[

j]i]

otherwise

也就是 

j  的範圍是 0 到 i–

1 。這樣，想求ai

結尾的最大遞增子串行的長度，我們就需要遍歷 

i  之前的所有位置 

j （0到 i-1），找出a[

j]i]

，計算這些

j  中，能產生最大 l[

j]的 

j ，之後就可以求出l[

i]。之後對每乙個a[

n]中的元素都計算以他們各自結尾的最大遞增子串行的長度，這些長度的最大值，就是我們要求的問題——陣列

a 的最大遞增子串行的長度。

重疊子問題：

根據上述推導式採用遞迴實現的話，有些子問題會被計算很多次。

動態規劃法：

綜上所述，lis 問題具有動態規劃需要的兩個性質，可以使用動態規劃求解該問題。設陣列 a = ，則： 

具體的打表方式如下：

打完表以後，最後一行的最大值就是最長遞增子串行的長度。由於每次都進行遍歷，故時間複雜度還是 θ(

n2) 。c

// lis 的動態規劃方式實現

int getlislength(int a, int len)

本解法的具體操作如下：

遍歷結束之後，最長遞增序列長度即為棧的大小。

注意c陣列的下標代表的是子串行的長度，c陣列中的值也是按遞增順序排列的。這才可能用二分查詢。

陣列array[i]儲存的是子串行長度為i的序列最後乙個值（該值是該子串行中最大的元素；如果長度為i的序列有多個，那麼array[i]存放這類序列最後元素中的最小乙個）

cop

int getlislength(int num, int length)

} }

return ivec.size();

}特別注意的是：本方法只能用於求最長遞增子串行的長度，輔助陣列中的序列不是最長遞增子串行：

最長遞增子串行

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