catalan數是組合數學中乙個常在各種計數問題中出現的數列。一般項公式為
cn的另乙個表達形式為
一般來說，我們程式設計時使用遞推關係會更方便計算
或即：c(n) = c(1)*c(n-1) + c(2)*c(n-2) + … + c(n-1)c(1).
它的前幾項為: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796。可以先通過前幾項判斷問題是否屬於卡特蘭數。
這裡有一本書介紹了66個相異的可由卡塔蘭數表達的組合結構。 (英文pdf)
1.矩陣連乘問題
矩陣連乘 p=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？
2.子串問題
乙個有n個x和n個y組成的字串，且所有的部分字串皆滿足x的個數大於等於y的個數。以下為長度為6的dyck words:
***yyy xyxxyy xyxyxy xxyyxy xxyxyy
3.括號匹配問題
將上例的x換成左括號，y換成右括號，cn表示所有包含n組括號的合法表示式的個數（面試題參看演算法篇第7題）：
((())) ()(()) ()()() (())() (()())
4.多邊形問題
將多邊形劃分為三角形問題。將乙個凸多邊形區域分成三角形區域(劃分線不交叉)的方法數?
5.相交點問題
在圓上選擇2n個點,將這些點成對連線起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?
6.出棧次序問題
乙個棧(無窮大)的進棧序列為1、2、3、…、n，有多少個不同的出棧序列?
7.有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)
8.路徑問題
在n*n的格仔中，只在下三角行走，每次橫或豎走一格，有多少中走法？
9.乙個有n個1和n個-1組成的字串，且前k個數的和均不小於0，那這種字串的總數為多少？
10.二叉樹問題
給頂節點組成二叉樹的問題。
給定n個節點，能構成多少種形狀不同的二叉樹？
(一定是二叉樹！先取乙個點作為頂點，然後左邊依次可以取0至n-1個相對應的，右邊是n-1到0個，兩兩配對相乘，就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + …… + h(n-1)h(0)=h(n)) （能構成h（n）個）
11.有n+1個葉子的滿二叉樹的個數？
12.用n個長方形填充乙個高度為n的階梯狀圖形的方法個數？
13 12個高矮不同的人，排成兩排，每排必須是從矮到高排列，而且第二排比對應的第一排的人高，問排列方式有多少種？
卡特蘭數 Catalan
問題 程式設計之美 第4.3節中提到了 買票找零 問題，查閱了下資料，此問題和卡特蘭數 cn有關，其定義如下 卡特蘭數真是乙個神奇的數字，很多組合問題的數量都和它有關係，例如 yyy xyxxyy xyxyxy xxyyxy xxyxyy ab c d a bc d ab cd a bc d a b...
catalan（卡特蘭）數
一 h n h 0 h n 1 h 1 h n 2 h n 1 h 0 其中n 2 h 0 h 1 1 h n 4n 2 n 1 h n 1 n 1 h 0 1 h n c 2n,n 一般情況 要取模 下的求法 簡單的catalan模板題 這個題要取1e9 7的模，直接按照公式h n 4n 2 n ...
Catalan數（卡特蘭數）
卡特蘭數 規定h 0 1，而h 1 1，h 2 2，h 3 5，h 4 14，h 5 42，h 6 132，h 7 429，h 8 1430，h 9 4862，h 10 16796，h 11 58786，h 12 208012，h 13 742900，h 14 2674440，h 15 969484...