catalan數——卡特蘭數
今天阿里**筆試中碰到兩道組合數學題，感覺非常親切，但是筆試中失蹤推導不出來
後來查了下，原來是catalan數。悲劇啊，現在整理一下
一、catalan數的定義令h(1)=1，catalan數滿足遞迴式：h(n) = h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1)，n>=2該遞推關係的解為：h(n) = c(2n-2,n-1)/n，n=1,2,3,...（其中c(2n-2,n-1)表示2n-2個中取n-1個的組合數）
問題描述:
12個高矮不同的人，排成兩排，每排必須是從矮到高排列，而且第二排比對應的第一排的人高，問排列方式有多少種？
這個筆試題，很yd，因為把某個遞推關係隱藏得很深。
問題分析:
我們先把這12個人從低到高排列,然後,選擇6個人排在第一排,那麼剩下的6個肯定是在第二排.
用0表示對應的人在第一排,用1表示對應的人在第二排,那麼含有6個0,6個1的序列,就對應一種方案.
比如000000111111就對應著
第一排：0 1 2 3 4 5
第二排：6 7 8 9 10 11
010101010101就對應著
第一排：0 2 4 6 8 10
第二排：1 3 5 7 9 11
問題轉換為，這樣的滿足條件的01序列有多少個。
觀察1的出現，我們考慮這乙個出現能不能放在第二排，顯然，在這個1之前出現的那些0,1對應的人
要麼是在這個1左邊，要麼是在這個1前面。而肯定要有乙個0的，在這個1前面，統計在這個1之前的0和1的個數。
也就是要求，0的個數大於1的個數。
ok，問題已經解決。
如果把0看成入棧操作，1看成出棧操作，就是說給定6個元素，合法的入棧出棧序列有多少個。
這就是catalan數,這裡只是用於棧，等價地描述還有，二叉樹的列舉、多邊形分成三角形的個數、圓括弧插入公式中的方法數，其通項是c(2n, n)/(n+1).
在《計算機程式設計藝術》,第三版,donald e.knuth著,蘇運霖譯,第一卷,508頁,給出了證明:
問題大意是用s表示入棧，x表示出棧，那麼合法的序列有多少個(s的個數為n)
顯然有c(2n, n)個含s，x各n個的序列，剩下的是計算不允許的序列數(它包含正確個數的s和x，但是違背其它條件).
在任何不允許的序列中，定出使得x的個數超過s的個數的第乙個x的位置。然後在導致幷包括這個x的部分序列中，以s代替所有的x並以x代表所有的s。結果是乙個有(n+1)個s和(n-1)個x的序列。反過來，對一垢一種型別的每個序列，我們都能逆轉這個過程，而且找出導致它的前一種型別的不允許序列。例如xxsxsssxxsss必然來自ssxs***xxsss。這個對應說明，不允許的序列的個數是c(2n, n-1)，因此an = c(2n, n) - c(2n, n-1)。
驗證：其中f表示前排，b表示後排，在列舉出前排的人之後，對應的就是後排的人了，然後再驗證是不是滿足後面的比前面對應的人高的要求。
#include using namespace std;
int bit_cnt(int n)
int main(void)
{ int f[6], b[6];
int i,j,k,state,ok,ans = 0;
for (state = 0; state < (1 << 12); ++state)
{ if (bit_cnt(state) == 6)
{ i = j = 0;
for (int k = 0; k < 12; ++k)
{if(state&(1結果：132
而c(12, 6)/7 = 12*11*10*9*8*7/(7*6*5*4*3*2) = 132
注意：c(2n, n)/(n+1) = c(2n, n) - c(2n, n-1)
估計出題的人也讀過《電腦程式藝術》吧。
ps：另乙個很yd的問題:
有編號為1到n(n可以很大，不妨在這裡假定可以達到10億)的若干個格仔，從左到右排列。
在某些格仔中有乙個棋子，不妨設第xi格有棋子(1<=i<=k, 1<=k<=n)
每次乙個人可以把乙個棋子往左移若干步，但是不能跨越其它棋子，也要保證每個格仔至多只有乙個棋子。
兩個人輪流移動，移動不了的為輸，問先手是不是有必勝策略。
三、catalan數的典型應用：
1、括號化問題。矩陣鏈乘： p=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？
乙個有n個x和n個y組成的字串，且所有的部分字串皆滿足x的個數大於等於y的個數。以下為長度為6的dyck words:
***yyy xyxxyy xyxyxy xxyyxy xxyxyy
將上例的x換成左括號，y換成右括號，cn表示所有包含n組括號的合法表示式的個數：
((())) ()(()) ()()() (())() (()())
2、將多邊行劃分為三角形問題。將乙個凸多邊形區域分成三角形區域(劃分線不交叉)的方法數?
類似：在圓上選擇2n個點,將這些點成對連線起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?
3、出棧次序問題。乙個棧(無窮大)的進棧序列為1、2、3、...、n，有多少個不同的出棧序列?
類似：有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)
類似：一位大城市的律師在他住所以北n個街區和以東n個街區處工作，每天她走2n個街區去上班。如果他從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那麼有多少條可能的道路？
分析：對於每乙個數來說，必須進棧一次、出棧一次。我們把進棧設為狀態『1』，出棧設為狀態『0』。n個數的所有狀態對應n個1和n個0組成的2n位二進位制數。由於等待入棧的運算元按照1‥n的順序排列、入棧的運算元b大於等於出棧的運算元a(a≤b)，因此輸出序列的總數目=由左而右掃瞄由n個1和n個0組成的2n位二進位制數，1的累計數不小於0的累計數的方案種數。
4、給頂節點組成二叉樹的問題。
給定n個節點，能構成多少種形狀不同的二叉樹？
(一定是二叉樹！先去乙個點作為頂點,然後左邊依次可以取0至n-1個相對應的,右邊是n-1到0個,兩兩配對相乘,就是h(0)*h(n-1)+h(2)*h(n-2)+ ...... +h(n-1)h(0)=h(n)) （能構成h（n）個）
在2n位二進位制數中填入n個1的方案數為c(2n,n)，不填1的其餘n位自動填0。從中減去不符合要求（由左而右掃瞄，0的累計數大於1的累計數）的方案數即為所求。
不符合要求的數的特徵是由左而右掃瞄時，必然在某一奇數字2m+1位上首先出現m+1個0的累計數和m個1的累計數，此後的2(n-m)-1位上有n-m個 1和n-m-1個0。如若把後面這2(n-m)-1位上的0和1互換，使之成為n-m個0和n-m-1個1，結果得1個由n+1個0和n-1個1組成的2n位數，即乙個不合要求的數對應於乙個由n+1個0和n-1個1組成的排列。
反過來，任何乙個由n+1個0和n-1個1組成的2n位二進位制數，由於0的個數多2個，2n為偶數，故必在某乙個奇數字上出現0的累計數超過1的累計數。同樣在後面部分0和1互換，使之成為由n個0和n個1組成的2n位數，即n+1個0和n-1個1組成的2n位數必對應乙個不符合要求的數。
因而不合要求的2n位數與n＋1個0，n－1個1組成的排列一一對應。
顯然，不符合要求的方案數為c(2n,n+1)。由此得出輸出序列的總數目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=1/(n+1)*c(2n,n)。
（這個公式的下標是從h(0)=1開始的）
Catalan數（卡特蘭數）
卡特蘭數 規定h 0 1，而h 1 1，h 2 2，h 3 5，h 4 14，h 5 42，h 6 132，h 7 429，h 8 1430，h 9 4862，h 10 16796，h 11 58786，h 12 208012，h 13 742900，h 14 2674440，h 15 969484...
卡特蘭數 Catalan數
卡特蘭數 規定h 0 1，而h 1 1，h 2 2，h 3 5，h 4 14，h 5 42，h 6 132，h 7 429，h 8 1430，h 9 4862，h 10 16796，h 11 58786，h 12 208012，h 13 742900，h 14 2674440，h 15 969484...
Catalan數（卡特蘭數）
2012 04 12 21 08 13 標籤 卡特蘭數 原始出處 作者資訊和本宣告。否則將追究法律責任。卡特蘭數 規定h 0 1，而h 1 1，h 2 2，h 3 5，h 4 14，h 5 42，h 6 132，h 7 429，h 8 1430，h 9 4862，h 10 16796，h 11 58...