【引入】
卡特蘭數是一種經典的組合數，經常出現在各種計算中，其前幾項為 :
1, 2, 5, 14, 42,
132, 429, 1430, 4862, 16796,
58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845,
35357670, 129644790, 477638700, 1767263190,
6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324,
4861946401452, ...
【遞推式】
c(n)=c(n-1)*((4*n-2)/(n+1))
【取模】
因為在大數卡特蘭數的計算時經常會用到取模運算，這裡的取模運算需要記得有一點證明：
【典型應用】
1.括號化問題
矩陣鏈乘： p=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？(h(n)種)
2.出棧次序問題
乙個棧(無窮大)的進棧序列為1,2,3,..n,有多少個不同的出棧序列?
類似：
(1) 有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)
(2) 在圓上選擇2n個點,將這些點成對連線起來，使得所得到的n條線段不相交的方法數。
3.將多邊形劃分為三角形問題
將乙個凸多邊形區域分成三角形區域的方法數?
類似：(1)一位大城市的律師在她住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果她從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那麼有多少條可能的道路？
(2)在圓上選擇2n個點,將這些點成對連線起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?
4.給頂節點組成二叉樹的問題
給定n個節點，能構成多少種形狀不同的二叉樹？
先去乙個點作為頂點,然後左邊依次可以取0至n-1個相對應的,右邊是n-1到0個,兩兩配對相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) +…+ h(n-1)h(0)=h(n)（能構成h(n)個）
Catalan數（卡特蘭數）
卡特蘭數 規定h 0 1，而h 1 1，h 2 2，h 3 5，h 4 14，h 5 42，h 6 132，h 7 429，h 8 1430，h 9 4862，h 10 16796，h 11 58786，h 12 208012，h 13 742900，h 14 2674440，h 15 969484...
卡特蘭數 Catalan數
卡特蘭數 規定h 0 1，而h 1 1，h 2 2，h 3 5，h 4 14，h 5 42，h 6 132，h 7 429，h 8 1430，h 9 4862，h 10 16796，h 11 58786，h 12 208012，h 13 742900，h 14 2674440，h 15 969484...
Catalan數（卡特蘭數）
2012 04 12 21 08 13 標籤 卡特蘭數 原始出處 作者資訊和本宣告。否則將追究法律責任。卡特蘭數 規定h 0 1，而h 1 1，h 2 2，h 3 5，h 4 14，h 5 42，h 6 132，h 7 429，h 8 1430，h 9 4862，h 10 16796，h 11 58...