引言：有高矮不同的12個人，現在要他們對應排成兩列，保證兩列分別有序，且對應位置總是第一列比第二列矮，請問有多少種排列方式？
這是蘑菇街筆試的時候乙個題目，當時陷入了列舉分類的死迴圈中，殊不知如果知道catalan數的概念，直接就計算出來了。catalan組合數學上的遞迴式定義如下，這個遞迴定義是尤拉在研究下面問題5時得出的乙個式子，是catalan數起源的一種說法。
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)=c(2n,n)-c(2n,n+1)=c(2n,n)/(n+1)
注：在參考四中另有一種定義h(n)=h(1)*h(n-1)+h(2)*h(n-2)+…h(n-1)*h(1)=c(2n-2,n-1)-c(2n-2,n)=c(2n-2,n-1)/n，這只是個如何確定n的問題，對分析題意影響不大,下面的分析基於第一種定義。
由上面的定義可知，有兩種情況是catalan數來算，一種是用組合的形式給出結論的，即最後能算出c(2n,n)-c(2n,n+1),如下面列舉的例子1,2,3,8，其實其它幾個例子也能轉化成這種形式，但是不直觀，其它幾個例子直觀上會有h(1)*h(n-1)+h(2)*h(n-2)+…h(n-1)*h(1）的形式。
catalan數有在很多場景會見到，常見的有：
1. 直角等邊三角形網路（直角邊長為n）的路徑問題（見參考1）—h(n-1)
思路：在2（n-1)個位置中找出哪（n-1）步朝上（c(2n-2,n-1）)，並刪除超過對角線的情況c(2n-2,n),即h(n-1)=c(2n-2,n-1)-c(2n-2,n)2.出棧入棧問題（見參考1），棧無窮大，n個數？—h(n)
思路：選定n個位置入棧，n個位置出棧，c(2n,n)，去除出棧入棧順序不對的c(2n,n+1)，因此為h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)3.2n個人買票找零問題（售票處無零錢，觀影者一半手持5塊，一半手持10塊，票價5塊）—h(n)
思路同2.4.n矩陣相乘的括號問題h(n-1)
思路: 分析有如下形式5.凸n邊形分割成多少個三角形（見參考4）—h(n-1)這是catalan數的形式,f(1)=1,f(2)=1,故f(n)=h(n-1)
思路，具體思路見參考4，分析同4.6.n個可以構造出多少種不同的二叉樹—h(n)
思路，選定乙個數作為根節點，因此有:7.在圓上選擇2n個點，將這些點成對連線起來使得所得到的n條線段不相交的方法數？--h(n-1),這也是catalan數的特徵，f(0)=1,f(1)=1,f(2)=2,因此有f(n)=h(n)
思路：如圖，由於不相交，分割的時候若a1和a2k有連線，那麼左側有2(k-1)個點，右側有2（n-k),所以：8.有高矮不同的12個人，現在要他們對應排成兩列，保證兩列分別有序，且對應位置總是第一列比第二列矮，請問有多少種排列方式？f(2)=1,f(4)=1,故f(2n)=h(n-1)
此題在參考1中描述得非常準確參考1：
參考2：
參考3：
參考4：
卡特蘭數 Catalan
問題 程式設計之美 第4.3節中提到了 買票找零 問題，查閱了下資料，此問題和卡特蘭數 cn有關，其定義如下 卡特蘭數真是乙個神奇的數字，很多組合問題的數量都和它有關係，例如 yyy xyxxyy xyxyxy xxyyxy xxyxyy ab c d a bc d ab cd a bc d a b...
catalan（卡特蘭）數
一 h n h 0 h n 1 h 1 h n 2 h n 1 h 0 其中n 2 h 0 h 1 1 h n 4n 2 n 1 h n 1 n 1 h 0 1 h n c 2n,n 一般情況 要取模 下的求法 簡單的catalan模板題 這個題要取1e9 7的模，直接按照公式h n 4n 2 n ...
Catalan數（卡特蘭數）
卡特蘭數 規定h 0 1，而h 1 1，h 2 2，h 3 5，h 4 14，h 5 42，h 6 132，h 7 429，h 8 1430，h 9 4862，h 10 16796，h 11 58786，h 12 208012，h 13 742900，h 14 2674440，h 15 969484...