動態規劃 LIS

動態規劃是比較重要的演算法啦，打算慢慢寫幾篇部落格總結一下。

動態規劃的基本思想是：要求原問題的解，先求出更小一些的問題的解，由子問題的解通過某種方式得到原問題的解。

以上是有關動態規劃的一些基本概念和概括。

第一篇就先講一下最長遞增子串行（lis）的問題的解決。

給出乙個數列a，求a的乙個長度最大的子數列b，使得b是乙個遞增數列

example:

數列a: 5， 2， 8， 6， 3， 6， 9， 7

乙個遞增的子數列: 5, 8, 9

乙個長度最大的遞增子數列：2, 3, 6, 9

將每乙個數作為乙個結點。從結點u到結點v連一條邊，當且僅當u代表的數在原數列中出現在v代表的數前面，而且u代表的數比v代表的數小。這樣轉化保證了dag（有向無環圖）的路徑和原數列的遞增子串行一一對應，因而dag上的最長路就是原數列的最長遞增子串行。

#include
#include
#include
using
namespace std;
intmain()
vector<
int> result;
result.
assign
(nums.
size()
,1);
for(
int i =
1; i < nums.
size()
; i++)}
result[i]=1
+ max;
}int max =0;
for(
int i =
0; i < result.
size()
; i++
) cout << max << endl;
}

有n個狀態，每個狀態遷移的複雜度是o(n)，因而總複雜度為o(n^2)。

我們可以看到，在生成遞增子串行中，有一些值是不需要維護，可以直接去掉的，這樣做可以減少狀態遷移的複雜度。

考慮這樣乙個事情，遍歷陣列的時候，比如，例子中所給的：

5， 2， 8， 6， 3， 6， 9， 7

第乙個數5，直到當前，最長遞增序列有1個數。

第二個數2，直到當前，最長遞增序列還是只有1個數。

此時，無論後面的數是什麼，只需要這個數比2大，那麼就能將最長遞增序列增加到兩個數。而5已經沒有價值了。因為乙個數若大於5必定大於2，而且與2相比，更有可能獲取更長的遞增序列。

簡單來說，就是維護乙個結果陣列，陣列表示結果需要的遞增數列的每乙個值，陣列的長度就是最長遞增序列的長度。（當然，結果不唯一）

vector<
int> result;
result.
push_back
(nums[0]
);for(
int i =
1; i < nums.
size()
; i++
)else
if(result[index]
> nums[i]
)}

通過二分查詢，找到遍歷到的數在結果陣列中的位置（即找到第乙個比該數大的數在結果陣列中的下標），如果該位置不存在，表示比結果陣列中所有的數都大，那麼插入該數到結果陣列的尾部。否則，判斷該數是否比該位置的數小，如果是，替換之。

#include
#include
using
namespace std;
//find the index that the num should be inserted
intbinary_search
(int low,
int high, vector<
int>
& nums,
int num)
return low;
}int
binary_search_recursion
(int low,
int high, vector<
int>
& nums,
int num)
else
}int
main()
vector<
int> result;
result.
push_back
(nums[0]
);for(
int i =
1; i < nums.
size()
; i++
)else
if(result[index]
> nums[i])}
cout << result.
size()
<< endl;
}

可以看到n次遍歷，每次遍歷二分查詢的複雜度為o(log n)，總的複雜度是o(n*log n)

動態規劃 LIS

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動態規劃 LIS

動態規劃 LIS問題

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