動態規劃最長上公升子串行（LIS）

題目：好多好多球

描述

一天，jason買了許多的小球。有n個那麼多。他寫完了作業之後就對著這些球發呆，這時候鄰居家的小朋友ion回來了，

jason無聊之際想到了乙個遊戲。他把這n個小球從1到n進行標號。然後打亂順序，排成一排。然後讓ion進行一種操作：

每次可以任意選擇乙個球，將其放到佇列的最前端或者佇列的最末尾。問至少要進行多少次操作才能使得球的順序變成正序1,2,3,4,5……n。

輸入格式

包含多組測試資料，每組資料第一行輸入乙個n(1 <= n <= 100),表示有n個球。第二行有n個數字ai（1 <= ai <=

n）,ai兩兩各不相同。

輸出格式

每組測試資料輸出佔一行，表示最少的操作次數使得小球變得有序。

輸入樣例

3 2 1 4

2 1

輸出樣例

分析：題意是把n個亂序的數變為順序，移動次數最少。同樣是用到了最長上公升子串行，這裡的上公升，是連續的、等差的，因為n個球的編號就是從1~n，所以我們找到每次遞增1的最長子序列，剩下的數只要移到隊頭或者隊尾就可以了。那麼移動最少次數就等於n-lis。

最長上公升子串行

我們都知道，動態規劃的乙個特點就是當前解可以由上乙個階段的解推出，由此，把我們要求的問題簡化成乙個更小的子問題。子問題具有相同的求解方式，只不過是規模小了而已。最長上公升子串行就符合這一特性。我們要求n個數的最長上公升子串行，可以求前n-1個數的最長上公升子串行，再跟第n個數進行判斷。求前n-1個數的最長上公升子串行，可以通過求前n-2個數的最長上公升子串行……直到求前1個數的最長上公升子串行，此時lis當然為1。

讓我們舉個例子：求 2 7 1 5 6 4 3 8 9 的最長上公升子串行。我們定義d(i) (i∈[1,n])來表示前i個數以a[i]結尾的最長上公升子串行長度。

前1個數 d(1)=1 子串行為2；

前2個數 7前面有2小於7 d(2)=d(1)+1=2 子串行為2 7

前3個數在1前面沒有比1更小的，1自身組成長度為1的子串行 d(3)=1 子串行為1

前4個數 5前面有2小於5 d(4)=d(1)+1=2 子串行為2 5

前5個數 6前面有2 5小於6 d(5)=d(4)+1=3 子串行為2 5 6

前6個數 4前面有2小於4 d(6)=d(1)+1=2 子串行為2 4

前7個數 3前面有2小於3 d(3)=d(1)+1=2 子串行為2 3

前8個數 8前面有2 5 6小於8 d(8)=d(5)+1=4 子串行為2 5 6 8

前9個數 9前面有2 5 6 8小於9 d(9)=d(8)+1=5 子串行為2 5 6 8 9

d(i)=max 我們可以看出這9個數的lis為d(9)=5

總結一下，d(i)就是找以a[i]結尾的，在a[i]之前的最長上公升子串行+1，當a[i]之前沒有比a[i]更小的數時，d(i)=1。所有的d(i)裡面最大的那個就是最長上公升子串行。下面是**實現的演算法。

int lis(int a,int n)
if(d[i]>len) len=d[i];
}delete d;
return len;
}

本題**實現：

#includeusing namespace std;
const int maxn = 101;
int lis(int a,int n)
} if(d[i]>len) len = d[i];
} return len;
}int main()
printf("%d",n-lis(a,n));
return 0;
}

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