Tarjan演算法詳解

tarjan是用來解決圖的割邊割點問題以及有向圖的強連通分量（縮點）的問題的。

割邊是圖論演算法中一類很常見的問題：

在乙個連通圖g中，假設有一條邊e，去掉e後圖g不再連通，那麼e就是g的一條割邊。換句話說，g是連通圖，g-e不是連通圖。

最暴力最暴力的演算法就是每次都去掉一條邊，然後進行dfs深度優先遍歷。要進行n次dfs深度優先遍歷。這顯然效率是很低很低的。

這個時候乙個叫tarjan的男人站了出來。

tarjan演算法是以dfs深度優先遍歷演算法為基礎的。也就是說tarjan是對dfs的乙個最優性剪枝。

在tarjan中，我們需要對每乙個頂點維護兩個值，dfn值和low值。

我們在dfs深度優先遍歷的時候根據dfs遍歷的順序可以畫出一顆dfs樹（有n-1條邊，這n-1條邊稱為樹邊，其餘稱為非樹邊）。我們dfs遍歷的順序編號就是dfn值，我們可以這樣理解：dfn值就是乙個時間戳，dfn[i]=1，就代表第i號結點是第1個被遍歷到的。low值是某個節點通過非樹邊能夠回溯到的dfn值最小的點。比如說low[8]=4；我們就能知道，8號點能通過非樹邊回溯到4號點。

這有什麼用呢？

我們任意連線dfn上的一條非樹邊，發現有這樣乙個性質：總是祖孫結點相連的。這樣的邊稱為返祖邊。我們可以知道，如果乙個點有返祖邊與dfn值更小的點相連，那麼它的父親結點肯定不是割點（好好思考下，想通了再往下面看）。所以我們可以得出乙個結論：在圖中，如果存在一條樹邊(x,y)，而且x是y的父親，存在low[y]>dfn[x]，那麼(x,y)是割邊。

luogu炸鐵路

這道題目的大意就是要炸掉一條鐵路，讓這個交通系統變成兩部分，這明顯是乙個裸的割邊題目。我們這邊拿這道題目作為乙個模板題來講解。

#include
#define maxn 200
#define maxm 5200*2
using namespace std;
inline int read()
//快讀
/*這個**風格……我已經被大佬們帶掉了
怎麼說呢，就是使用namespace
這個東西有啥好處呢，就是可以使整個**的
結構變得很清晰
不信你看
*/namespace graph//這部分是跟圖論就有關係了
a[maxm];//鄰接表
void insert(int x,int y)
//在鄰接表中插入邊
void init()
}//讀入
}using namespace graph;//一定別忘了寫這句
namespace tarjan//接下來是tarjan
ans[maxm];//這是用來儲存答案的乙個邊表
int dfn[maxn],low[maxn],tot=0,num;
void hy(int u,int fa)
//dfs函式，u代表當前結點，fa代表當前結點的父親
else
//如果被訪問過了
low[u]=min(low[u],dfn[v]);
//那就用v的dfn值更新u的low值
if(dfn[u]//這裡是判斷是否是割邊，這是}}
}using namespace tarjan;
bool mycmp(edge a,edge b)

割點是圖論演算法中另外乙個非常常見的問題。

模擬割邊的定義，割點就是，在連通圖g中，去掉了點a，讓這個圖不再連通，那麼就是割點。也就是g是連通圖，g-a不是連通圖。

這類題目的暴力演算法一樣，就是把所有跟這個點有關係的邊全部去掉，再dfs。太慢了。

tarjan求割點的方法和求割邊的方式類同，都需要維護兩個值：low值和dfn值。意義也基本相同。我們仍然構造一顆dfs樹，如果乙個點有乙個兒子能通過非樹邊到達其他非子孫結點，那麼這個點就不是割點。我們可以說，如果存在一條邊(x,y)，x是y的父親。如果low[y]<=dfn[x]那麼說明x是割點。

需要一提的是，由於有向圖都是單向邊，所以非樹邊不一定是返祖邊。可以連到兄**樹的結點的邊也是可以讓這個結點不是割點的。最後要強調的是，只要有乙個兒子結點滿足上面的關係，那麼這個點就是割點。因為至少有乙個點被他阻斷了呀。

思考一下根節點，根節點要怎麼樣才能是割點呢：度》=2。

[扭曲鑼鼓割點模板題(

裸模板題！！tarjan上。

#include
#define maxn 100100
using
namespace
std;
inline
int read()
//快讀
/*還是那個套路。namespace
*/namespace graph
a[maxn*2];//鄰接表
void insert(int x,int y)
//插入
void init()
}//讀入資料
}using
namespace graph;
namespace tarjan//tarjan演算法
low[x]=min(low[x],dfn[y]);
// 用y的dfn值更新x的low值
}if(x==father[x]&°ree>=2)
ans[x]=true;
//如果它是根節點，而且度數》=2,那麼它是割點
}}using
namespace tarjan;
int main()

強連通分量是有向圖中的一類很常見的問題。弄得我痛不欲生！！！

有向圖中乙個連通分量如果滿足這樣的性質：其中任意兩個點都是能夠互相通過路徑到達的，而且整個分量沒有出度，那麼這個連通分量就是強連通分量。

我給恩撒。

我才不寫暴力呢。

tarjan求強連通分量是需要乙個棧來維護乙個被遍歷到的序列，這要碰到dfn[i]=low[i]的就把所有的它以上進棧的全部彈出，這就是個強連通分量了。這個推導的話我推薦乙個blog

大佬部落格。關於強連通分量的證明

luogu訊息擴散

不多說了

統計強連通分量個數。縮點。統計入度為0的強連通分量。

#include
#define maxn 100100
#define maxm 500200*2
using
namespace
std;
inline
int read()
namespace graph
a[maxm];
bool tr[maxm];
struct edge
e[maxm];
void insert(int x,int y)
void init()
}}using
namespace graph; 
namespace tarjan
else
if(dfn[y]if(dfn[x]==low[x])
while(x!=r);
/*跟上面的**不一樣對的地方，
如果碰到乙個low和dfn相等的點，
就彈出所有的棧中比它後入棧的點作為
乙個強連通分量
*/ }
}}using
namespace tarjan;
int main()
int ans=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
}printf("%d",number-ans);
return
0; }

Tarjan演算法詳解

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