uva10003 - cutting sticks
題目鏈結
簡介：
給出乙個長度為l的木棍，以及n個切割點
要求切割成n+1段，每切一次花費都是原始的木棍長度
求最小花費
分析：
實際上我們可以看做是n+1個物品
這和能量項鍊是一樣的：
設計狀態：f[i][j]表示切割編號為(i~j)的木棍的花費
f[i][j]=min
a[i]是前i段木棍的字首和，實際上就是分割點
唯一需要注意就是現在有n+1個物品了
這樣的複雜度是o(n^3)
#include
#include
#include
using
namespace
std;
const
int n=55;
int pre[n],nxt[n];
int a[n],n,l;
int f[n][n];
int main()
return
0;}
閒的實際上，我們可以把複雜度降為o(n^2)
這就需要乙個新知識了（上面只是引入）
在動態規劃中，經常遇到如下的狀態轉移方程：
d[i,j]=min+w[i,j]
其中i < k < j，w[i,j]是區間(i,j)的額外代價，時間複雜度為o(n^3)
這種情況下，我們通常可以考慮用四邊形不等式優化
首先我們需要明確一些概念
對於乙個權函式w(i,j)，如果ta滿足w(x,i+1)-w(x+1,i)隨x單調不增，亦即w(x,i+1)+w(x+1,i)>=w(x,i)+w(x+1,i+1)，則稱這個權函式滿足凸完全單調性通過四邊形不等式也可推出凸完全單調性，所以這兩種說法不嚴格來說是等價的易證明，當k>0時，w(x,i+k)-w(x,i)隨x單調不增，w(i+k,x)-w(i,x)隨x單調不增，
則對任意a<=b<=c<=d，有w(a,c)+w(b,d)<=w(a,d)+w(b,c)。
稱此式為四邊形不等式
（可以形象理解為兩個交錯區間的w的和不超過小區間與大區間的w的和）
在一類要求將一段序列劃分成若干子段，從i到j的一段費用為w(i,j)，要求出所有子段代價之和最小劃分方案的動態規劃中，通常可以見到這樣的狀態轉移方程：
d(i)=min
設t(i,x)=d(i)+w(i+1,x),如果對於某個x，t(i,x)>=t(j,x) (i < j)則對於任何y>x都有t(i,y)>=t(j,y)
此式說明，對於i < j，一旦某個時刻決策i沒有決策j好，以後決策i也不會比決策j好。
這說明，f(x)的決策時隨x單調不降的，這就是決策單調性
如果函式w滿足：w(i,j)<=w(i』,j』) ([i,j]屬於[i』,j』])有了上面的知識鋪墊，我們現在提出一些重要的定理：則說w關於區間包含關係單調
（可以形象理解為如果小區間包含於大區間中，那麼小區間的w值不超過大區間的w值）
定理一：如果上述的w函式同時滿足區間包含單調性和四邊形不等式性質，那麼函式d也滿足四邊形不等式性質。我們再定義s(i,j)表示d(i,j)取得最優值時對應的下標（即i≤k≤j時，k處的w值最大，則s(i,j)=k）。此時有如下定理
定理二：假如d(i,j)滿足四邊形不等式，那麼s(i,j)單調，s(i,j)≤s(i,j+1)≤s(i+1,j+1)那麼我們怎麼判斷w是否符合四邊形不等式呢？
定理三：w為凸當且僅當w(i,j)+w(i+1,j+1)<=w(i,j+1)+w(i+1,j)這個定理說明了驗證w是否為凸的方法：
固定j算出w(i,j+1)-w(i,j)關於i的表示式，若i單調遞減，那麼w為凸
固定i算出w(i+1,j)-w(i,j)關於j的表示式，若j單調遞減，那麼w為凸
我們發現如果w函式滿足區間包含單調性和四邊形不等式性質，那麼有s(i,j-1)≤s(i,j)≤s(i+1,j)
原來的狀態轉移方程可以改寫為下式：
d(i,j)=min+w(i,j) (s(i,j-1)≤k≤s(i+1,j))（min也可以改為max）
由於這個狀態轉移方程列舉的是區間長度l=j-i，
而s(i,j-1)和s(i+1,j)的長度為l-1，是之間已經計算過的，可以直接呼叫。
不僅如此，區間的長度最多有n個，對於固定的長度l，不同的狀態也有n個，故時間複雜度為o(n^2)，而原來的時間複雜度為o(n^3)，實現了優化
說句實話，在dp的**實現上，我們只是加了乙個陣列s（區間最優解的位置）
每次迴圈的時候，只迴圈s[i,j-1]~s[i+1,j]
下面給出一開始引入問題的優化**
//這裡寫**片
#include
#include
const
int n=55;
int s[n][n],f[n][n],a[n],n,l;
int main()
printf("the minimum cutting is ");
printf("%d.\n",f[1][n]);
}return
0;}
四邊形不等式
總結一下最近幾天對dp優化中的四邊形不等式的學習。證明什麼的似懂非懂，我還是太年輕了。第一種，n 2 nlogn 例題 由於許可權問題 不公開題面 就是1個體積均為1 300，100000個物品，做乙個100000的揹包。發現體積最多只有 300 種，分開做。對於同種體積的物品，顯然按照價值從大到小...
四邊形不等式
若有函式 a i,j 令 i，若有 a i j a i 1 j 1 le a i j 1 a i 1 j 則我們稱函式 a 滿足四邊形不等式。若我們在 dp 過程中會用到類似如下形式的方程 dp i j min dp k j or dp i k dp k 1 j w i j 那麼，只要代價函式 w ...
四邊形不等式相關
四邊形不等式，即 w i j w i j w i j w i j 其中 i i j j 順便推薦兩篇 四邊形不等式 動態規劃演算法優化技巧 我是這麼總結的 1 狀態轉移方程形如 f i opt 其中b i j i 1 說明 b i 是根據題目描述的可以決策狀態i的左邊界，w j i 是狀態j轉移到狀...