原文
在動態規劃中，經常遇到形如下式的轉台轉移方程：
m(i,j)=min+w(i,j)(i≤k≤j)（min也可以改為max）
上述的m(i,j)表示區間[i,j]上的某個最優值。w(i,j)表示在轉移時需要額外付出的代價。該方程的時間複雜度為o(n^3)。
下面我們通過四邊形不等式來優化上述方程，首先介紹什麼是」區間包含的單調性「和」四邊形不等式「
（1）區間包含的單調性：如果對於i≤i'（2）四邊形不等式：如果對於i≤i'下面給出兩個定理
定理一：如果上述的w函式同時滿足區間包含單調性和四邊形不等式性質，那麼函式m也滿足四邊形不等式性質。
我們再定義s(i,j)表示m(i,j)取得最優值時對應的下標（即i≤k≤j時，k處的w值最大，則s(i,j)=k）。此時有如下定理
定理二：假如m(i,j)滿足四邊形不等式，那麼s(i,j)單調，即s(i,j)≤s(i,j+1)≤s(i+1,j+1)。
好了，有了上述的兩個定理後，我們發現如果w函式滿足區間包含單調性和四邊形不等式性質，那麼有s(i,j-1)≤s(i,j)≤s(i+1,j)。即原來的狀態轉移方程可以改寫為下式：
m(i,j)=min+w(i,j)(s(i,j-1)≤k≤s(i+1,j))（min也可以改為max）
由於這個狀態轉移方程列舉的是區間長度l=j-i，而s(i,j-1)和s(i+1,j)的長度為l-1，是之間已經計算過的，可以直接呼叫。不僅如此，區間的長度最多有n個，對於固定的長度l，不同的狀態也有n個，故時間複雜度為o(n^2)，而原來的時間複雜度為o(n^3)，實現了優化！今後只需要根據方程的形式以及w函式是否滿足兩條性質即可考慮使用四邊形不等式來優化了。
四邊形不等式優化DP
記錄一下，以免忘了 對於乙個形如 dp i j min dp i k dp k j w i j 的轉移方程 注意取最大值時不一定滿足四邊形不等式 若對於 a leq b leq c leq d 且 w leq w 那麼我們稱 w 關於區間包含關係單調 若對於 a leq b leq c leq d ...
四邊形不等式優化dp
對四邊形不等式優化dp的理解 四邊形不等式適用於優化最小代價子母樹問題，即f i j max min f i k 1 f k j w i j 類似列舉中間點的 dp問題，典型例題石子歸併 如果w函式滿足區間包含的單調性和四邊形不等式，那麼函式 f也滿足四邊形不等式，如果 f滿足四邊形不等式，s i ...
DP優化 四邊形不等式
使用範圍 區間序列 dp 求最小值 一定是最小值 對於動態規劃轉移方程 dp i j min dp i k dp k 1 j w i,j 其中 w i,j 只受 i,j 取值影響 如果滿足下面兩個條件 1.區間單調性 如果對於 forall i leq i j leq j,w i j leq w i...