網路上面都有這個圖，但是我將這個圖做了2點改進。
（1）圖中有一棵滿二叉樹，滿二叉樹的每乙個結點對應a中的乙個元素。
（2）c[i]為a[i]對應的那一列的最高的節點。
現在告訴你：序列c就是樹狀陣列。
那麼c如何求得？
c[1]=a[1];
c[2]=a[1]+a[2];
c[3]=a[3];
c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];
c[5]=a[5];
c[6]=a[5]+a[6];
c[7]=a[7];
c[8]= a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8];
以上只是列舉了所有的情況，那麼推廣到一般情況，得到乙個c[i]的抽象定義：
因為a中的每個元素對應滿二叉樹的每個葉子，所以我們乾脆把a中的每個元素當成葉子，那麼：c[i]=c[i]的所有葉子的和。
現在不得不引出關於二進位制的乙個規律：
先仔細看下圖：
將十進位制化成二進位制，然後觀察這些二進位制數最右邊1的位置：
1 --> 00000001
2 --> 00000010
3 --> 00000011
4 --> 00000100
5 --> 00000101
6 --> 00000110
7 --> 00000111
8 --> 00001000
1的位置其實從我畫的滿二叉樹中就可以看出來。但是這與c有什麼關係呢？
接下來的這部分內容很重要：
在滿二叉樹中，
以1結尾的那些結點（c[1],c[3],c[5],c[7]），其葉子數有1個，所以這些結點c[i]代表區間範圍為1的元素和；
以10結尾的那些結點（c[2],c[6]），其葉子數為2個，所以這些結點c[i]代表區間範圍為2的元素和；
以100結尾的那些結點（c[4]），其葉子數為4個，所以這些結點c[i]代表區間範圍為4的元素和；
以1000結尾的那些結點（c[8]），其葉子數為8個，所以這些結點c[i]代表區間範圍為8的元素和。
擴充套件到一般情況：
i的二進位制中的從右往左數有連續的x個「0」，那麼擁有2^x個葉子，為序列a中的第i-2^x+1到第i個元素的和。
終於，我們得到了乙個c[i]的具體定義：
c[i]=a[i-2^x+1]+…+a[i]，其中x為i的二進位制中的從右往左數有連續「0」的個數。
理解了c[i]後，前i個元素的和s[i]就很容易實現。
從c[i]的定義出發：
c[i]=a[i-2^x+1]+…+a[i]，其中x為i的二進位制中的從右往左數有連續「0」的個數。
我們可以知道：c[i]是肯定包括a[i]的，那麼：
s[i]=c[i]+c[i-2^x]+…
也許上面這個公式太抽象了，因為有省略號，我們拿乙個具體的例項來看：
s[7]=c[7]+c[6]+c[4]
因為c[7]=a[7]，c[6]=a[6]+a[5]，c[4]=a[4]+a[3]+a[2]+a[1]，所以s[7]=c[7]+c[6]+c[4]
現在直接告訴你結論：2^x=i&(-i)
證明：設a』為a的二進位制反碼，i的二進位制表示成a1b，其中a不管，b為全0序列。那麼-i=a』0b』+1。由於b為全0序列，那麼b』就是全1序列，所以-i=a』1b，所以：
i&(-i)= a1b& a』1b=1b，即2^x的值。
x 為 i 的二進位制的最後一位1之後0的個數
假如 i=7 ，二進位制0000 0111 ，那麼x=0，s[7]=c[7]+c[7-2^0]+...
i=6 0000 0110 x=1 s[7]=c[7]+c[7-2^0]
+c[6-2^1]
i=4 0000 0100 x=2
s[7]=c[7]+c[7-2^0]
+c[6-2^1]+c[4-2^2]
s=c[7]+c[6]+c[4];
i -= 4-2^2; //不滿足i>0的條件退出迴圈
int sum(int i) //返回前i個元素和
return s;
}正如第01講提到的小石塊問題，如果陣列a[i]被更新了怎麼辦？那麼如何改動c？
如果改動c也需要o(n)的時間複雜度，那麼樹狀陣列就沒有任何優勢。所以樹狀陣列在改動c上面的時間效率為o(logn)，為什麼呢？
因為改動a[i]只需要改動部分的c。這一點從第02講的圖中就可以看出來：
如上圖：
假如a[3]=3，接著a[3]+=1，那麼哪些c需要改變呢？
答案從圖中就可以得出：c[3],c[4],c[8]。因為這些值和a[3]是有聯絡的，他們用樹的關係描述就是：c[3],c[4],c[8]是a[3]的祖先。
那麼怎麼知道那些c需要變化呢？
我們來看「a」這個結點。這個「a」結點非常的重要，因為他體現了乙個關係：a的葉子數為c[3]的2倍。因為「a」的左子樹和右子樹的葉子數是相同的。 因為2^x代表的就是葉子數，所以c[3]的父親是a，a的父親是c[i+2^0]，即c[3]改變，那麼c[3+2^0]也改變。
我們再來看看「b」這個結點。b結點的葉子數為2倍的c[6]的葉子數。所以b和c[6+2^1]在同一列，所以c[6]改變，c[6+2^1]也改變。
推廣到一般情況就是：
如果a[i]發生改變，那麼c[i]發生改變，c[i]的父親c[i+2^x]也發生改變。
這一行的迭代過程，我們可以寫出當a[i]發生改變時，c的更新函式為：
void update(int i,int value) //a[i]的改變值為value
}#include
using namespace std;
int a[10005];
int n;
int lowbit(int t)
void insert(int t, int d)
}int getsum(int t)
return sum;
}int main()
char str[10];
scanf("%s", str);
printf("case %d:\n", ++t);
while(strcmp(str, "end") != 0)
else if(strcmp(str, "add") == 0)
else if(strcmp(str, "sub") == 0)
scanf("%s", str);}}
return 0;
}
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