R語言由Monte Carlo方法計算積分

蒙特·卡羅方法（monte carlo method），也稱統計模擬方法，是二十世紀四十年代中期由於科學技術的發展和電子計算機的發明，而被提出的一種以概率統計理論為指導的一類非常重要的數值計算方法。是指使用隨機數（或更常見的偽隨機數）來解決很多計算問題的方法。

f = function(o) sum(rexp(o, rate = 1/1000))

g = vectorize(f)
p = function(n))
c(mean = mean(b), sd = sd(b))
}

# 簡單 monte carlo 方法

p1 = function(n))
c(mean = mean(b), sd = sd(b))}
# importance sampling 方法
p2 = function(n))
c(mean = mean(smp), sd = sd(smp))}

f <- function(x) exp(- x^(1/2))*(sin(x))^2

g <- function(x) (1/(2*pi))*(1/(1 + x^2/4))*2
ratio <- function(x) f(x)/g(x)
# 首先看看如何產生服從柯西分布的正半軸的密度函式的隨機數
h <- function(n) abs(rcauchy(n, scale = 2))
a = h(100000)
hist(a[a<=40], freq = false, breaks = seq(0, 40, 0.05), border = "darkblue")
curve(g, from = 0, to = 40, add = true, col = "red")
# 下面用 importance sampling 方法生成服從 f(x) 的隨機數
)c(mean = mean(d), sd = sd(d))}
smp(100, 100)
smp(100, 1000)
smp(100, 100000)
# 檢查上面結果是否正確
w = function(x) x*f(x)
integrate(w, lower = 0, upper = 1000)
# 注意到均值的標準差是和根號 n 成反比。
a = null
for(i in seq(1000, 10000, 1000)) a = c(a, smp(100, i)["sd"])
# 得 n = 7000

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