完成日期：2017.10.26
1. 實踐題目
數字三角形
2. 問題描述
給定乙個由 n行數字組成的數字三角形如下圖所示。試設計乙個演算法，計算出從三角形 的頂至底的一條路徑(每一步可沿左斜線向下或右斜線向下)，使該路徑經過的數字總和最大。
3. 演算法描述
1）首先該問題有最優子結構和重疊子問題的性質，因此可以用動態規劃來求解。
2）設 a[i][j] 表示數字三角形中的第 i 行第 j 個點;
3）max[i][j]表示 第 i 行 第 j 個數字到低端的最優路徑值，則原問題的最優解就是 max[1][1] 的值;
4）從 a[i][j] 這個點向下走，有 a[i +1][j] 和a[i+1][j+1] 這兩個點可以選擇; 則 max[i][j] 的最優值 = a[i][j] 的值 + max。
5）因為原問題的最優解是 max[1][1]，因此填表的順序就是至底向上，先計算最後一層的點，然後倒數二層，……，一直算到第一層。
遞迴公式：
max[i][j]：第 i 行 第 j 個數字到低端的最優路徑值。
max[i][j] = a[i][j] （ i=n）
max[i][j] = max + a[i][j] （ 1 <= i <= j < n）
原問題的最優值是 b[1][1]
4. 演算法時間及空間複雜度分析
時間複雜度：
因為三角形的數字總和為n(n+1)/2,因此填表的時候會有兩重迴圈:行數 i 和列數j 的迴圈，得到的時間複雜度為o(n²)。
空間複雜度：
演算法需要乙個記錄子結構最優解的二維陣列max，這個陣列的規模為n行n列，因此空間複雜度為o(n²)。
5. 程式**
#include
using
namespace
std;
int a[101][101];
int longestpath(int n)
}return a[1][1];
}int main()
7. 心得體會
首先在了解了題目，知道它可以用動態規劃來解決之後，我一開始想到的是用乙個一維陣列來記錄每一層的最優解，自上而下來記錄，但是按照這個思路來想，一直在研究 max[i] 和 max[i+1] 怎麼搭上關係，後來發現無論是從下到上還是從上到下，怎麼樣都沒有辦法記錄，這時候我就知道自己的方向想錯了，可能是理解錯了動態規劃的意思，然後我趕緊複習了一下動態規劃。
後來想到了用乙個二維陣列來記錄每個節點的最優解，我手動填了一次**，發現從下到上還是從上到下寫起都是可以的，但是從下到上寫的話最後可以馬上得到 max[1][1] 就是最優解。但是從上到下寫最後就必須對最底的那一排進行遍歷取得最大值，因此順序從上到下比較省時和方便。
接下來程式就很順利地完成了，最後乙個問題是在記錄節點的最優解時，可以選擇另開乙個二維陣列max來記錄最優解，也可以直接覆蓋記錄原始資料的陣列a，如果新開乙個陣列的話就會演算法的空間複雜度增加，但是如果覆蓋的話，原始資料就會丟失，因此需要根據實際的情景選擇適合的操作方法。
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