單調佇列優化

單調佇列是一種嚴格單調的佇列，可以單調遞增，也可以單調遞減。隊首位置儲存的是最優解，第二個位置儲存的是次優解。

單調佇列可以有兩個操作：

1、插入乙個新的元素，該元素從隊尾開始向隊首進行搜尋，找到合適的位置插入之，如果該位置原本有元素，則替換它。

2、在過程中從隊首刪除不符合當前要求的元素。

單調佇列實現起來可簡單，可複雜。簡單的乙個陣列，乙個head，乙個tail指標就搞定。複雜的用雙向鍊錶實現。

1、儲存最優解，次優解，ect。

2、利用單調佇列對dp方程進行優化，可將o(n)複雜度降至o(1)。也就是說，將原本會超時的n維dp降優化至n-1維，以求通過。這也是我想記錄的重點

是不是任何dp都可以利用單調佇列進行優化呢？答案是否定的。

記住！只有形如

dp[i]=(max/min)(f[k])+g[i]  (k才能用到單調佇列進行優化。 
優化的物件就是f[k]。
輸入乙個長度為n的整數序列，其中有正有負，陣列中乙個或連續的多個整數組成乙個子陣列，求所有子陣列的和的最大值，要求時間複雜度為o(n)。 
轉移方程：dp[i]=max(dp[i-1]+data[i],data[i]); 
舉例： 
輸入： 
最大子陣列為:=18；
步驟操作
累加的子陣列和
最大的子陣列和1加1
112加-2-11
3拋棄前面的和-1，加333
4加10
1313
5加-4913
6加716167加2
1818
8加-5
1318
int findgreatestsumofsubarray(int *pdata, int nlength)
g_invalidinput = false;
int ncursum = 0;
int ngreatestsum = 0x80000000;//負無窮
for(int i = 0; i < nlength; ++i)
return ngreatestsum; 
}

就是這樣一種方式使得我們原本需要o(n^2^)直接降低成為了線性o(n)。

將物品的數量拆成0、1、2、4……等二的指數，分別計算其價值，當做單獨的物品。因為用這些數可以組合出各種<=m(m為此種物品的數量)的數，也就可以用普通的01揹包

狀態轉移方程

dp[i][j] = max

時間複雜度為ο(nwlog(m))(n為物品種數，w為揹包大小，m為此物品數量)，是一種比較高效的方法。

==優化之後==

時間複雜度為ο(n*w)，只是常數可能會稍大。字母含義與上方相同

根據上面的式子，每個j值對應的k有m[i] + 1個裡面去找最大的那個，就相當於在乙個區間裡面找乙個最大值，可以考慮用單調佇列來做這個事情，每次維護佇列是單調遞減的，每次取出來佇列頭作為轉移，每次加入的時候，把前面的比它小的就出隊，然後超過m[i]+1的也出隊。

根據上面的式子，發現對於j這個維數來說，如果兩個體積值對於we[i]取餘的值不一樣，是不可能轉移的。這樣的話直接按照mod的這個值來做轉移，因為mod的值是在[0,we[i]-1]，後面再列舉k的值。

假設mod = j % we[i]，a = j / we[i]，那麼j = a * we[i] + mod，可得:

dp[i][j] = max

化簡一下，把a - k 用k來替換就可以得到:

dp[i][j] = max + a * va[i]

這樣掃瞄的時候就是，第一重迴圈是列舉i為n(物品種數)，第二重迴圈是列舉的mod從0到we[i]-1,然後第三重迴圈是列舉的餘數為mod的情況下的k值，k值是從0到mod + k * we[i] <= v的對於每乙個k對應乙個這麼大小的揹包，然後找以這個為單調佇列末尾的那個佇列頭的值，完成轉移方程。

單調佇列優化

單調佇列優化DP

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