之前做題碰到了乙個用到完全圖的生成樹數量的裸題，上課的時候我知道老師講到有n個節點的完全圖的生成樹的數量是n^(n-2),這個公式用歸納法應該是可以證明的，自己去網上搜尋了一下，發現還有另外的證法，是用到了prüfer編碼，並且上述提到的公式原來是叫cayley公式。下面簡要談一下自己對這個證法的理解。
首先介紹一種樹的編碼方式，就是我首先知道這個樹上的節點時標好了號的，其實號應該是隨意標的，因為完全圖是對稱的。然後我對這棵樹可以有乙個編碼的方式，就是取樹上標號最小的葉子節點，寫下與它相鄰的節點的標號，然後把這個刪掉，以此類推，直到這棵樹最後只剩下了兩個節點為止，此時此刻我們得到了乙個長度為n-2的數列。第一部分也就證明完畢了即 一棵完全圖的生成樹唯一對應乙個長度為n-2的數列。
第二部分我們證明乙個長度為n-2的數列是唯一對應一棵完全圖的生成樹的，首先對於這個數列，其中的元素都是1-n之間的，但是這其中的元素又不是完全包含1-n之間的所有元素，所以我們去尋找不包含在這個數列之中的最小的數字是多少，找到這個數字就說明這個數字肯定是原樹的葉子，並且是最小的葉子，（因為假如這個節點不是葉子的話，那麼他就得有兩條邊，最後只剩了一條邊，所以這個節點的某乙個連線點被去掉過，所以數列中就必須有這個節點，但是數列中沒有，並且它是這棵樹最小的葉子節點）所以第乙個數就是和這個最小的葉子相連的節點，然後我們按照相同的方式去應用於後面n-3個節點，尋找第二個葉子和哪乙個節點相連以此類推，我們最後得到了唯一一顆完整的樹。
有了上述說明，我想這個公式就被證明了。
Pr fer編碼與Cayley公式
cayley公式是說，乙個完全圖k n有n n 2 棵生成樹，換句話說n個節點的帶標號的無根樹有n n 2 個。今天我學到了cayley公式的乙個非常簡單的證明，證明依賴於pr fer編碼，它是對帶標號無根樹的一種編碼方式。給定一棵帶標號的無根樹，找出編號最小的葉子節點，寫下與它相鄰的節點的編號，然...
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Pr fer編碼與Cayley公式學習小記
傳送門 顧森大爺的部落格.一棵有編號的樹如何用乙個序列表示？pr fer編碼出奇蹟。如何構序列 一共有n 2次操作 找到當前葉子節點中編號最小的那個點x，輸出與x相鄰的點，刪掉x。根據序列求樹 由於沒有出現在序列裡的序號恰好是是葉子節點，所以每次找到每次找到序號最小的葉子節點，與序列的對應項形成一條...