cayley公式是說，乙個完全圖k_n有n^(n-2)棵生成樹，換句話說n個節點的帶標號的無根樹有n^(n-2)個。今天我學到了cayley公式的乙個非常簡單的證明，證明依賴於prüfer編碼，它是對帶標號無根樹的一種編碼方式。
給定一棵帶標號的無根樹，找出編號最小的葉子節點，寫下與它相鄰的節點的編號，然後刪掉這個葉子節點。反覆執行這個操作直到只剩兩個節點為止。由於節點數n>2的樹總存在葉子節點，因此一棵n個節點的無根樹唯一地對應了乙個長度為n-2的數列，數列中的每個數都在1到n的範圍內。下面我們只需要說明，任何乙個長為n-2、取值範圍在1到n之間的數列都唯一地對應了一棵n個節點的無根樹，這樣我們的帶標號無根樹就和prüfer編碼之間形成一一對應的關係，cayley公式便不證自明了。
注意到，如果乙個節點a不是葉子節點，那麼它至少有兩條邊；但在上述過程結束後，整個圖只剩下一條邊，因此節點a的至少乙個相鄰節點被去掉過，節點a的編號將會在這棵樹對應的prüfer編碼中出現。反過來，在prüfer編碼中出現過的數字顯然不可能是這棵樹（初始時）的葉子。於是我們看到，沒有在prüfer編碼中出現過的數字恰好就是這棵樹（初始時）的葉子節點。找出沒有出現過的數字中最小的那乙個（比如④），它就是與prüfer編碼中第乙個數所標識的節點（比如③）相鄰的葉子。接下來，我們遞迴地考慮後面n-3位編碼（別忘了編碼總長是n-2）：找出除④以外不在後n-3位編碼中的最小的數（左圖的例子中是⑦），將它連線到整個編碼的第2個數所對應的節點上（例子中還是③）。再接下來，找出除④和⑦以外後n-4位編碼中最小的不被包含的數，做同樣的處理……依次把③⑧②⑤⑥與編碼中第3、4、5、6、7位所表示的節點相連。最後，我們還有①和⑨沒處理過，直接把它們倆連線起來就行了。由於沒處理過的節點數總比剩下的編碼長度大2，因此我們總能找到乙個最小的沒在剩餘編碼中出現的數，演算法總能進行下去。這樣，任何乙個prüfer編碼都唯一地對應了一棵無根樹，有多少個n-2位的prüfer編碼就有多少個帶標號的無根樹。
乙個有趣的推廣是，n個節點的度依次為d1, d2, ..., dn的無根樹共有(n-2)! / [ (d1-1)!(d2-1)!..(dn-1)! ]個，因為此時prüfer編碼中的數字i恰好出現di-1次。
Pr fer編碼與Cayley公式
之前做題碰到了乙個用到完全圖的生成樹數量的裸題，上課的時候我知道老師講到有n個節點的完全圖的生成樹的數量是n n 2 這個公式用歸納法應該是可以證明的，自己去網上搜尋了一下，發現還有另外的證法，是用到了pr fer編碼，並且上述提到的公式原來是叫cayley公式。下面簡要談一下自己對這個證法的理解。...
Pr fer編碼與Cayley公式
今天遇到乙個問題 在乙個n階完全圖的所有生成樹的數量為n的n 2次方，想了好久也沒有想出來，還是在網上找到的。簡單點說就是 一一對應法 假定t是其中一棵樹，樹葉中有標號最小者，設為a1，a1的鄰接點為b1，從圖中消去a1點 和邊 a1,b1 b1點便成為消去後餘下的樹t1的頂點.在餘下的樹t1中尋找...
Pr fer編碼與Cayley公式學習小記
傳送門 顧森大爺的部落格.一棵有編號的樹如何用乙個序列表示？pr fer編碼出奇蹟。如何構序列 一共有n 2次操作 找到當前葉子節點中編號最小的那個點x，輸出與x相鄰的點，刪掉x。根據序列求樹 由於沒有出現在序列裡的序號恰好是是葉子節點，所以每次找到每次找到序號最小的葉子節點，與序列的對應項形成一條...