OJ演練整數劃分（經典DP問題）

對整數劃分，關鍵點：

1、找出動態規劃的狀態轉移方程

2、確定各種情況下的初始條件

description

將正整數n表示成一系列正整數之和：n=n1+n2+…+nk,其中n1>=n2>=…>=nk>=1。正整數n的這種表示稱為正整數n的劃分。求正整數n的不同劃分個數。例如，正整數6有如下11種不同的劃分：6: 6; 5+1; 4+2; 4+1+1; 3+3; 3+2+1; 3+1+1+1; 2+2+2; 2+2+1+1; 2+1+1+1+1; 1+1+1+1+1+1.

input

多組測試資料，輸入到檔案結束，每組資料報含乙個正整數n(n<=40)

output

輸出n的不同劃分個數。

sample input3 6

sample output

3 11

【題目分析】

用dp[i][j]表示將i拆分成若干個數字，最大的那個數字不超過j的方案數。那麼包括兩種情況：第一種是最大的數不超過j-1，此時方案數是dp[i][j-1]；否則數字剛好是j，因為劃分中存在最大值j，所以可以在(i-j)中繼續以最大值為j來劃分,此時方案數是dp[i-j][j]，（若題目要求不重複則為dp[i-j][j-1]）所以可得狀態方程：

dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j]，  i>=j
dp[i][j]=dp[i][i]， i

當 i == 1 || j == 1 時，dp[i][j]= 1，因為i為1，那麼只能劃分為1；而j為1，那麼只能劃分成i個1.

當 i == j 時，dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[0][j]，可知dp[0][j] = 1，即劃分數字正好等於自己

最後的dp[n][n]就是答案。

#include 
int dp[1005][1005];
void integer_partition(int n)
for(int i=2;i<=n;i++)}}
}int main(int argc, const
char * argv)

dp[n][k]，則是數n的劃分中，其最大值不能大於k的劃分個數。

題目描述 description

將整數n分成k份，且每份不能為空，任意兩種劃分方案不能相同(不考慮順序)。

例如：n=7，k=3，下面三種劃分方案被認為是相同的。

1 1 5

1 5 1

5 1 1

問有多少種不同的分法。

輸入描述 input description

輸入：n，k (6輸出描述 output description


輸出：乙個整數，即不同的分法。
樣例輸入 sample input
7 3樣例輸出 sample output
4資料範圍及提示 data size & hint
【題目分析】 
用dp[i][j]代表i分成j個部分有幾種分法. 
當 i < j 時，顯然是不可能的，那麼dp[i][j] == 0; 
當 j == 1 時，dp[i][j] == 1; 
當i >= j 時，d[i][j]=d[i-j][j]+d[i-1][j-1]，前半部分對應這j個數中不存在1的情況，那麼我們就可以將劃分中每個數都減去1，剩下的輸仍然是大於0的，等價於將i減去了j，而後半部分這是對應這j個數中存在1的情況 
且當 i == j 時，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[0][j]=1，可知dp[0][j] =0
最終程式可以如下：

#include 
int dp[1005][1005];
void integer_partition(int n, int m)
for(int i=2;i<=n;i++)else}}
}int main(int argc, const
char * argv)

如果要求是可以小於j個部分，那麼就可以將結果從1一直加到j。

1.劃分個數不固定，可用模型1（有最大值j無最大值j）：

for(int i = 0; i <=
n; i++)
for(int
i = 1; i
<= n; i++) else 
} }

2.劃分個數固定，用模型2（有1沒1）：

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